Sr Examen
19x^2-16y^2+12xy+26x+44y-94 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 -94 - 16*y + 19*x + 26*x + 44*y + 12*x*y = 0
$$19 x^{2} + 12 x y + 26 x - 16 y^{2} + 44 y - 94 = 0$$
19*x^2 + 12*x*y + 26*x - 16*y^2 + 44*y - 94 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$19 x^{2} + 12 x y + 26 x - 16 y^{2} + 44 y - 94 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 19$$
$$a_{12} = 6$$
$$a_{13} = 13$$
$$a_{22} = -16$$
$$a_{23} = 22$$
$$a_{33} = -94$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}19 & 6\\6 & -16\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -340$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$19 x_{0} + 6 y_{0} + 13 = 0$$
$$6 x_{0} - 16 y_{0} + 22 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -1$$
$$y_{0} = 1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 13 x_{0} + 22 y_{0} - 94$$
$$a'_{33} = -85$$
entonces la ecuación se transformará en
$$19 x'^{2} + 12 x' y' - 16 y'^{2} - 85 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{35}{12}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{35}{12} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{12}{37}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{35}{37}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{37}}{37}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{6 \sqrt{37} \tilde x}{37} - \frac{\sqrt{37} \tilde y}{37}$$
$$y' = \frac{\sqrt{37} \tilde x}{37} + \frac{6 \sqrt{37} \tilde y}{37}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$19 x'^{2} + 12 x' y' - 16 y'^{2} - 85 = 0$$
en
$$- 16 \left(\frac{\sqrt{37} \tilde x}{37} + \frac{6 \sqrt{37} \tilde y}{37}\right)^{2} + 12 \left(\frac{\sqrt{37} \tilde x}{37} + \frac{6 \sqrt{37} \tilde y}{37}\right) \left(\frac{6 \sqrt{37} \tilde x}{37} - \frac{\sqrt{37} \tilde y}{37}\right) + 19 \left(\frac{6 \sqrt{37} \tilde x}{37} - \frac{\sqrt{37} \tilde y}{37}\right)^{2} - 85 = 0$$
simplificamos
$$20 \tilde x^{2} - 17 \tilde y^{2} - 85 = 0$$
$$- 20 \tilde x^{2} + 17 \tilde y^{2} + 85 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{17}{4}} - \frac{\tilde y^{2}}{5} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{6 \sqrt{37}}{37}, \ \frac{\sqrt{37}}{37}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{37}}{37}, \ \frac{6 \sqrt{37}}{37}\right)$$
$$19 x^{2} + 12 x y + 26 x - 16 y^{2} + 44 y - 94 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 19$$
$$a_{12} = 6$$
$$a_{13} = 13$$
$$a_{22} = -16$$
$$a_{23} = 22$$
$$a_{33} = -94$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}19 & 6\\6 & -16\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -340$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$19 x_{0} + 6 y_{0} + 13 = 0$$
$$6 x_{0} - 16 y_{0} + 22 = 0$$
entonces
$$x_{0} = -1$$
$$y_{0} = 1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 13 x_{0} + 22 y_{0} - 94$$
$$a'_{33} = -85$$
entonces la ecuación se transformará en
$$19 x'^{2} + 12 x' y' - 16 y'^{2} - 85 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{35}{12}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{35}{12} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{12}{37}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{35}{37}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{37}}{37}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{6 \sqrt{37} \tilde x}{37} - \frac{\sqrt{37} \tilde y}{37}$$
$$y' = \frac{\sqrt{37} \tilde x}{37} + \frac{6 \sqrt{37} \tilde y}{37}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$19 x'^{2} + 12 x' y' - 16 y'^{2} - 85 = 0$$
en
$$- 16 \left(\frac{\sqrt{37} \tilde x}{37} + \frac{6 \sqrt{37} \tilde y}{37}\right)^{2} + 12 \left(\frac{\sqrt{37} \tilde x}{37} + \frac{6 \sqrt{37} \tilde y}{37}\right) \left(\frac{6 \sqrt{37} \tilde x}{37} - \frac{\sqrt{37} \tilde y}{37}\right) + 19 \left(\frac{6 \sqrt{37} \tilde x}{37} - \frac{\sqrt{37} \tilde y}{37}\right)^{2} - 85 = 0$$
simplificamos
$$20 \tilde x^{2} - 17 \tilde y^{2} - 85 = 0$$
$$- 20 \tilde x^{2} + 17 \tilde y^{2} + 85 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{17}{4}} - \frac{\tilde y^{2}}{5} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1, 1)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{6 \sqrt{37}}{37}, \ \frac{\sqrt{37}}{37}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{37}}{37}, \ \frac{6 \sqrt{37}}{37}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$19 x^{2} + 12 x y + 26 x - 16 y^{2} + 44 y - 94 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 19$$
$$a_{12} = 6$$
$$a_{13} = 13$$
$$a_{22} = -16$$
$$a_{23} = 22$$
$$a_{33} = -94$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}19 & 6 & 13\\6 & -16 & 22\\13 & 22 & -94\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}19 - \lambda & 6\\6 & - \lambda - 16\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -340$$
$$I_{3} = 28900$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 340$$
$$K_{2} = -935$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda - 340 = 0$$
$$\lambda_{1} = 20$$
$$\lambda_{2} = -17$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$20 \tilde x^{2} - 17 \tilde y^{2} - 85 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{17}{4}} - \frac{\tilde y^{2}}{5} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$19 x^{2} + 12 x y + 26 x - 16 y^{2} + 44 y - 94 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 19$$
$$a_{12} = 6$$
$$a_{13} = 13$$
$$a_{22} = -16$$
$$a_{23} = 22$$
$$a_{33} = -94$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
|19 6 |
I2 = | |
|6 -16|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}19 & 6 & 13\\6 & -16 & 22\\13 & 22 & -94\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}19 - \lambda & 6\\6 & - \lambda - 16\end{matrix}\right|$$
|19 13 | |-16 22 |
K2 = | | + | |
|13 -94| |22 -94|$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -340$$
$$I_{3} = 28900$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 340$$
$$K_{2} = -935$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda - 340 = 0$$
$$\lambda_{1} = 20$$
$$\lambda_{2} = -17$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$20 \tilde x^{2} - 17 \tilde y^{2} - 85 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{17}{4}} - \frac{\tilde y^{2}}{5} = 1$$
- está reducida a la forma canónica