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x^2+y^2-2*z^2+2*x*y+4*sqrt(2)*x-4*sqrt(2)*y+4*z-2=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
      2    2      2               ___                 ___    
-2 + x  + y  - 2*z  + 4*z - 4*y*\/ 2  + 2*x*y + 4*x*\/ 2  = 0
$$x^{2} + 2 x y + 4 \sqrt{2} x + y^{2} - 4 \sqrt{2} y - 2 z^{2} + 4 z - 2 = 0$$
x^2 + 2*x*y + 4*sqrt(2)*x + y^2 - 4*sqrt(2)*y - 2*z^2 + 4*z - 2 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$x^{2} + 2 x y + 4 \sqrt{2} x + y^{2} - 4 \sqrt{2} y - 2 z^{2} + 4 z - 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 2 \sqrt{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = - 2 \sqrt{2}$$
$$a_{33} = -2$$
$$a_{34} = 2$$
$$a_{44} = -2$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 0$$
     |1  1|   |1  0 |   |1  0 |
I2 = |    | + |     | + |     |
     |1  1|   |0  -2|   |0  -2|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 1 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 0 & -2\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 2 \sqrt{2}\\1 & 1 & 0 & - 2 \sqrt{2}\\0 & 0 & -2 & 2\\2 \sqrt{2} & - 2 \sqrt{2} & 2 & -2\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 1 & 0\\1 & 1 - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda - 2\end{matrix}\right|$$
     |             ___|   |               ___|           
     |   1     2*\/ 2 |   |   1      -2*\/ 2 |   |-2  2 |
K2 = |                | + |                  | + |      |
     |    ___         |   |     ___          |   |2   -2|
     |2*\/ 2     -2   |   |-2*\/ 2      -2   |           

     |                       ___ |                                                    
     |   1        1      2*\/ 2  |   |                   ___|   |                 ___|
     |                           |   |   1      0   -2*\/ 2 |   |   1     0   2*\/ 2 |
     |                        ___|   |                      |   |                    |
K3 = |   1        1      -2*\/ 2 | + |   0      -2     2    | + |   0     -2     2   |
     |                           |   |                      |   |                    |
     |    ___       ___          |   |     ___              |   |    ___             |
     |2*\/ 2   -2*\/ 2      -2   |   |-2*\/ 2   2      -2   |   |2*\/ 2   2     -2   |
                                                         

$$I_{1} = 0$$
$$I_{2} = -4$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 64$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 4 \lambda$$
$$K_{2} = -20$$
$$K_{3} = 0$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} \neq 0 \wedge I_{4} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 4 \lambda = 0$$
$$\lambda_{1} = -2$$
$$\lambda_{2} = 2$$
$$\lambda_{3} = 0$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde z 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) I_{4}}{I_{2}}} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right) = 0$$
y
$$- \tilde z 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) I_{4}}{I_{2}}} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right) = 0$$
$$- 2 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} + 8 \tilde z = 0$$
y
$$- 2 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} - 8 \tilde z = 0$$
$$- 2 \tilde z + \left(\frac{\tilde x^{2}}{2} - \frac{\tilde y^{2}}{2}\right) = 0$$
y
$$2 \tilde z + \left(\frac{\tilde x^{2}}{2} - \frac{\tilde y^{2}}{2}\right) = 0$$
es la ecuación para el tipo paraboloide hiperbólico
- está reducida a la forma canónica