Sr Examen
9x^2+y^2-9z^2-54x-4y-54z+4+0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 2 4 + y - 54*x - 54*z - 9*z - 4*y + 9*x = 0
$$9 x^{2} - 54 x + y^{2} - 4 y - 9 z^{2} - 54 z + 4 = 0$$
9*x^2 - 54*x + y^2 - 4*y - 9*z^2 - 54*z + 4 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$9 x^{2} - 54 x + y^{2} - 4 y - 9 z^{2} - 54 z + 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = -27$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = -2$$
$$a_{33} = -9$$
$$a_{34} = -27$$
$$a_{44} = 4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -9\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & 0 & -27\\0 & 1 & 0 & -2\\0 & 0 & -9 & -27\\-27 & -2 & -27 & 4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 0 & 0\\0 & 1 - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda - 9\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = -81$$
$$I_{3} = -81$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \lambda^{2} + 81 \lambda - 81$$
$$K_{2} = -1458$$
$$K_{3} = -1782$$
Como
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - \lambda^{2} - 81 \lambda + 81 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = 1$$
$$\lambda_{3} = -9$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$9 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 9 \tilde z^{2} = 0$$
$$- \frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{1^{2}}\right) = 0$$
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica
$$9 x^{2} - 54 x + y^{2} - 4 y - 9 z^{2} - 54 z + 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = -27$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = -2$$
$$a_{33} = -9$$
$$a_{34} = -27$$
$$a_{44} = 4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44| |a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
|9 0| |1 0 | |9 0 |
I2 = | | + | | + | |
|0 1| |0 -9| |0 -9|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -9\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & 0 & -27\\0 & 1 & 0 & -2\\0 & 0 & -9 & -27\\-27 & -2 & -27 & 4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 0 & 0\\0 & 1 - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda - 9\end{matrix}\right|$$
| 9 -27| |1 -2| |-9 -27|
K2 = | | + | | + | |
|-27 4 | |-2 4 | |-27 4 | | 9 0 -27| |1 0 -2 | | 9 0 -27|
| | | | | |
K3 = | 0 1 -2 | + |0 -9 -27| + | 0 -9 -27|
| | | | | |
|-27 -2 4 | |-2 -27 4 | |-27 -27 4 |$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = -81$$
$$I_{3} = -81$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \lambda^{2} + 81 \lambda - 81$$
$$K_{2} = -1458$$
$$K_{3} = -1782$$
Como
I3 != 0
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - \lambda^{2} - 81 \lambda + 81 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = 1$$
$$\lambda_{3} = -9$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$9 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 9 \tilde z^{2} = 0$$
$$- \frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{1^{2}}\right) = 0$$
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica