Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$\frac{\left(x + 4\right)^{2}}{16} + \left(y + 3\right)^{2} - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \frac{1}{16}$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = \frac{1}{4}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 3$$
$$a_{33} = 9$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = \frac{17}{16}$$
|1/16 0|
I2 = | |
| 0 1|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}\frac{1}{16} & 0 & \frac{1}{4}\\0 & 1 & 3\\\frac{1}{4} & 3 & 9\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}\frac{1}{16} - \lambda & 0\\0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|1/16 1/4| |1 3|
K2 = | | + | |
|1/4 9 | |3 9|
$$I_{1} = \frac{17}{16}$$
$$I_{2} = \frac{1}{16}$$
$$I_{3} = - \frac{1}{16}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \frac{17 \lambda}{16} + \frac{1}{16}$$
$$K_{2} = \frac{1}{2}$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - \frac{17 \lambda}{16} + \frac{1}{16} = 0$$
$$\lambda_{1} = 1$$
$$\lambda_{2} = \frac{1}{16}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} + \frac{\tilde y^{2}}{16} - 1 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(1^{-1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{4}{1}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica