Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 2 x + y^{2} + 8 y + 3 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 4$$
$$a_{33} = 3$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 4$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 x_{0} - 1 = 0$$
$$y_{0} + 4 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{1}{4}$$
$$y_{0} = -4$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - x_{0} + 4 y_{0} + 3$$
$$a'_{33} = - \frac{53}{4}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$4 x'^{2} + y'^{2} - \frac{53}{4} = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{2 \sqrt{53}}{53}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{2}{53} \sqrt{53}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1/4, -4)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$