Sr Examen
9x^2+24xy+16y^2-20x+110y-50=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 -50 - 20*x + 9*x + 16*y + 110*y + 24*x*y = 0
$$9 x^{2} + 24 x y - 20 x + 16 y^{2} + 110 y - 50 = 0$$
9*x^2 + 24*x*y - 20*x + 16*y^2 + 110*y - 50 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$9 x^{2} + 24 x y - 20 x + 16 y^{2} + 110 y - 50 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = -10$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = 55$$
$$a_{33} = -50$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 12\\12 & 16\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{7}{24}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{24} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{24}{25}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{25}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{3}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{4 \tilde x}{5} + \frac{3 \tilde y}{5}$$
$$y' = - \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$9 x'^{2} + 24 x' y' - 20 x' + 16 y'^{2} + 110 y' - 50 = 0$$
en
$$16 \left(- \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right)^{2} + 24 \left(- \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) \left(\frac{4 \tilde x}{5} + \frac{3 \tilde y}{5}\right) + 110 \left(- \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) + 9 \left(\frac{4 \tilde x}{5} + \frac{3 \tilde y}{5}\right)^{2} - 20 \left(\frac{4 \tilde x}{5} + \frac{3 \tilde y}{5}\right) - 50 = 0$$
simplificamos
$$- 82 \tilde x + 25 \tilde y^{2} + 76 \tilde y - 50 = 0$$
$$82 \tilde x - 25 \tilde y^{2} - 76 \tilde y + 50 = 0$$
$$\left(5 \tilde y - \frac{38}{5}\right)^{2} = 82 \tilde x + \frac{2694}{25}$$
$$\left(\tilde y - \frac{38}{25}\right)^{2} = \frac{82 \tilde x}{25} + \frac{2694}{625}$$
$$\tilde y'^{2} = \frac{82 \tilde x}{25} + \frac{2694}{625}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = \frac{0 \cdot 4}{5} + \frac{\left(-3\right) 0}{5}$$
$$y_{0} = \frac{\left(-3\right) 0}{5} + \frac{0 \cdot 4}{5}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{4}{5}, \ - \frac{3}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{3}{5}, \ \frac{4}{5}\right)$$
$$9 x^{2} + 24 x y - 20 x + 16 y^{2} + 110 y - 50 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = -10$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = 55$$
$$a_{33} = -50$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 12\\12 & 16\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{7}{24}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{24} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{24}{25}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{25}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{3}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{4 \tilde x}{5} + \frac{3 \tilde y}{5}$$
$$y' = - \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$9 x'^{2} + 24 x' y' - 20 x' + 16 y'^{2} + 110 y' - 50 = 0$$
en
$$16 \left(- \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right)^{2} + 24 \left(- \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) \left(\frac{4 \tilde x}{5} + \frac{3 \tilde y}{5}\right) + 110 \left(- \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) + 9 \left(\frac{4 \tilde x}{5} + \frac{3 \tilde y}{5}\right)^{2} - 20 \left(\frac{4 \tilde x}{5} + \frac{3 \tilde y}{5}\right) - 50 = 0$$
simplificamos
$$- 82 \tilde x + 25 \tilde y^{2} + 76 \tilde y - 50 = 0$$
$$82 \tilde x - 25 \tilde y^{2} - 76 \tilde y + 50 = 0$$
$$\left(5 \tilde y - \frac{38}{5}\right)^{2} = 82 \tilde x + \frac{2694}{25}$$
$$\left(\tilde y - \frac{38}{25}\right)^{2} = \frac{82 \tilde x}{25} + \frac{2694}{625}$$
$$\tilde y'^{2} = \frac{82 \tilde x}{25} + \frac{2694}{625}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = \frac{0 \cdot 4}{5} + \frac{\left(-3\right) 0}{5}$$
$$y_{0} = \frac{\left(-3\right) 0}{5} + \frac{0 \cdot 4}{5}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{4}{5}, \ - \frac{3}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{3}{5}, \ \frac{4}{5}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$9 x^{2} + 24 x y - 20 x + 16 y^{2} + 110 y - 50 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = -10$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = 55$$
$$a_{33} = -50$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 25$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 12 & -10\\12 & 16 & 55\\-10 & 55 & -50\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 12\\12 & 16 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 25$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -42025$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 25 \lambda$$
$$K_{2} = -4375$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$82 \tilde x + 25 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{82 \tilde x}{25}$$
- está reducida a la forma canónica
$$9 x^{2} + 24 x y - 20 x + 16 y^{2} + 110 y - 50 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = -10$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = 55$$
$$a_{33} = -50$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 25$$
|9 12|
I2 = | |
|12 16|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 12 & -10\\12 & 16 & 55\\-10 & 55 & -50\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 12\\12 & 16 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| 9 -10| |16 55 |
K2 = | | + | |
|-10 -50| |55 -50|$$I_{1} = 25$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -42025$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 25 \lambda$$
$$K_{2} = -4375$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$82 \tilde x + 25 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{82 \tilde x}{25}$$
- está reducida a la forma canónica