Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Forma canónica:
  • x^2+y^2+z^2=12
  • 7x^2-9y^2=63
  • (4x^2)−(y^2)+4x−8y−16=0
  • xy+yz+zx=0

  • Expresiones idénticas

  • (4x^ dos)−(y^ dos)+4x−8y− dieciséis = cero
  • (4x al cuadrado )−(y al cuadrado ) más 4x−8y−16 es igual a 0
  • (4x en el grado dos)−(y en el grado dos) más 4x−8y− dieciséis es igual a cero
  • (4x2)−(y2)+4x−8y−16=0
  • 4x2−y2+4x−8y−16=0
  • (4x²)−(y²)+4x−8y−16=0
  • (4x en el grado 2)−(y en el grado 2)+4x−8y−16=0
  • 4x^2−y^2+4x−8y−16=0
  • (4x^2)−(y^2)+4x−8y−16=O

  • Expresiones semejantes

  • (4x^2)−(y^2)-4x−8y−16=0
Forma canónica/ (4x^2)−(y^2)+4x−8y−16=0

(4x^2)−(y^2)+4x−8y−16=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
       2                  2    
-16 - y  - 8*y + 4*x + 4*x  = 0
4x2+4x−y2−8y−16=04 x^{2} + 4 x - y^{2} - 8 y - 16 = 0 
4*x^2 + 4*x - y^2 - 8*y - 16 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2+4x−y2−8y−16=04 x^{2} + 4 x - y^{2} - 8 y - 16 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=0a_{12} = 0
a13=2a_{13} = 2
a22=−1a_{22} = -1
a23=−4a_{23} = -4
a33=−16a_{33} = -16
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣400−1∣\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & -1\end{matrix}\right|
Δ=−4\Delta = -4
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
4x0+2=04 x_{0} + 2 = 0
−y0−4=0- y_{0} - 4 = 0
entonces
x0=−12x_{0} = - \frac{1}{2}
y0=−4y_{0} = -4
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=2x0−4y0−16a'_{33} = 2 x_{0} - 4 y_{0} - 16
a33′=−1a'_{33} = -1
entonces la ecuación se transformará en
4x′2−y′2−1=04 x'^{2} - y'^{2} - 1 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
        2           2    
\tilde x    \tilde y     
--------- - --------- = 1
   1/4          1

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1/2, -4)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2+4x−y2−8y−16=04 x^{2} + 4 x - y^{2} - 8 y - 16 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=0a_{12} = 0
a13=2a_{13} = 2
a22=−1a_{22} = -1
a23=−4a_{23} = -4
a33=−16a_{33} = -16
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=3I_{1} = 3
     |4  0 |
I2 = |     |
     |0  -1|

I3=∣4020−1−42−4−16∣I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & 2\\0 & -1 & -4\\2 & -4 & -16\end{matrix}\right|
I(λ)=∣4−λ00−λ−1∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|
     |4   2 |   |-1  -4 |
K2 = |      | + |       |
     |2  -16|   |-4  -16|

I1=3I_{1} = 3
I2=−4I_{2} = -4
I3=4I_{3} = 4
I(λ)=λ2−3λ−4I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 4
K2=−68K_{2} = -68
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−3λ−4=0\lambda^{2} - 3 \lambda - 4 = 0
λ1=4\lambda_{1} = 4
λ2=−1\lambda_{2} = -1
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
4x~2−y~2−1=04 \tilde x^{2} - \tilde y^{2} - 1 = 0
        2           2    
\tilde x    \tilde y     
--------- - --------- = 1
   1/4          1

- está reducida a la forma canónica
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