Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- Forma canónica:
- 36(x-1)^2+4(y+3)^2=144
- 2x^2+2y^2+2yz+2z^2-1=0
- 4x^2+0xy+25y^2-25=0
- x*y=1
- Suma de la serie:
-
144
-
Expresiones idénticas
- treinta y seis (x- uno)^ dos + cuatro (y+ tres)^ dos = ciento cuarenta y cuatro
- 36(x menos 1) al cuadrado más 4(y más 3) al cuadrado es igual a 144
- treinta y seis (x menos uno) en el grado dos más cuatro (y más tres) en el grado dos es igual a ciento cuarenta y cuatro
- 36(x-1)2+4(y+3)2=144
- 36x-12+4y+32=144
- 36(x-1)²+4(y+3)²=144
- 36(x-1) en el grado 2+4(y+3) en el grado 2=144
- 36x-1^2+4y+3^2=144
-
Expresiones semejantes
- 36(x+1)^2+4(y+3)^2=144
- 36(x-1)^2-4(y+3)^2=144
- 36(x-1)^2+4(y-3)^2=144
36(x-1)^2+4(y+3)^2=144 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 -144 + 4*(3 + y) + 36*(-1 + x) = 0
$$36 \left(x - 1\right)^{2} + 4 \left(y + 3\right)^{2} - 144 = 0$$
36*(x - 1)^2 + 4*(y + 3)^2 - 144 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$36 \left(x - 1\right)^{2} + 4 \left(y + 3\right)^{2} - 144 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 36$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -36$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = 12$$
$$a_{33} = -72$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}36 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$36 x_{0} - 36 = 0$$
$$4 y_{0} + 12 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = -3$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 36 x_{0} + 12 y_{0} - 72$$
$$a'_{33} = -144$$
entonces la ecuación se transformará en
$$36 x'^{2} + 4 y'^{2} - 144 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$36 \left(x - 1\right)^{2} + 4 \left(y + 3\right)^{2} - 144 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 36$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -36$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = 12$$
$$a_{33} = -72$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}36 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$36 x_{0} - 36 = 0$$
$$4 y_{0} + 12 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = -3$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 36 x_{0} + 12 y_{0} - 72$$
$$a'_{33} = -144$$
entonces la ecuación se transformará en
$$36 x'^{2} + 4 y'^{2} - 144 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
2 2
\tilde x \tilde y
--------- + --------- = 1
2 2
/ 1 \ / 1 \
|------| |------|
\6*1/12/ \2*1/12/ - está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1, -3)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$36 \left(x - 1\right)^{2} + 4 \left(y + 3\right)^{2} - 144 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 36$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -36$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = 12$$
$$a_{33} = -72$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 40$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}36 & 0 & -36\\0 & 4 & 12\\-36 & 12 & -72\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}36 - \lambda & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 40$$
$$I_{2} = 144$$
$$I_{3} = -20736$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 40 \lambda + 144$$
$$K_{2} = -4320$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 40 \lambda + 144 = 0$$
$$\lambda_{1} = 36$$
$$\lambda_{2} = 4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$36 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 144 = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$36 \left(x - 1\right)^{2} + 4 \left(y + 3\right)^{2} - 144 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 36$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -36$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = 12$$
$$a_{33} = -72$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 40$$
|36 0|
I2 = | |
|0 4|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}36 & 0 & -36\\0 & 4 & 12\\-36 & 12 & -72\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}36 - \lambda & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|36 -36| |4 12 |
K2 = | | + | |
|-36 -72| |12 -72|$$I_{1} = 40$$
$$I_{2} = 144$$
$$I_{3} = -20736$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 40 \lambda + 144$$
$$K_{2} = -4320$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 40 \lambda + 144 = 0$$
$$\lambda_{1} = 36$$
$$\lambda_{2} = 4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$36 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 144 = 0$$
2 2
\tilde x \tilde y
--------- + --------- = 1
2 2
/ 1 \ / 1 \
|------| |------|
\6*1/12/ \2*1/12/ - está reducida a la forma canónica