Sr Examen
x^2-2xy+8y^2-12x+64y+148=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 148 + x - 12*x + 8*y + 64*y - 2*x*y = 0
$$x^{2} - 2 x y - 12 x + 8 y^{2} + 64 y + 148 = 0$$
x^2 - 2*x*y - 12*x + 8*y^2 + 64*y + 148 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 2 x y - 12 x + 8 y^{2} + 64 y + 148 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = -6$$
$$a_{22} = 8$$
$$a_{23} = 32$$
$$a_{33} = 148$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & -1\\-1 & 8\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 7$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - y_{0} - 6 = 0$$
$$- x_{0} + 8 y_{0} + 32 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{16}{7}$$
$$y_{0} = - \frac{26}{7}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 6 x_{0} + 32 y_{0} + 148$$
$$a'_{33} = \frac{108}{7}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - 2 x' y' + 8 y'^{2} + \frac{108}{7} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{2}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{2} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{2 \sqrt{53}}{53}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}$$
$$y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - 2 x' y' + 8 y'^{2} + \frac{108}{7} = 0$$
en
$$8 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 2 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}\right)^{2} + \frac{108}{7} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{49 \sqrt{53} \tilde x^{2}}{106} - 2 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \tilde x^{2}}{2} - \frac{14 \sqrt{53} \tilde x \tilde y}{53} + 14 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} + 2 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} + \frac{49 \sqrt{53} \tilde y^{2}}{106} + \frac{9 \tilde y^{2}}{2} + \frac{108}{7} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{53} \tilde x^{2}}{2} + \frac{9 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{53} \tilde y^{2}}{2} + \frac{9 \tilde y^{2}}{2} + \frac{108}{7} = 0$$
Esta ecuación es una elipsis imaginaria
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{18} \sqrt{\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{53}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{18} \sqrt{\frac{\sqrt{53}}{2} + \frac{9}{2}}}\right)^{2}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}, \ \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$x^{2} - 2 x y - 12 x + 8 y^{2} + 64 y + 148 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = -6$$
$$a_{22} = 8$$
$$a_{23} = 32$$
$$a_{33} = 148$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & -1\\-1 & 8\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 7$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - y_{0} - 6 = 0$$
$$- x_{0} + 8 y_{0} + 32 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{16}{7}$$
$$y_{0} = - \frac{26}{7}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 6 x_{0} + 32 y_{0} + 148$$
$$a'_{33} = \frac{108}{7}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - 2 x' y' + 8 y'^{2} + \frac{108}{7} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{2}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{2} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{2 \sqrt{53}}{53}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7 \sqrt{53}}{53}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}$$
$$y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - 2 x' y' + 8 y'^{2} + \frac{108}{7} = 0$$
en
$$8 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 2 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} + \tilde y \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}\right)^{2} + \frac{108}{7} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{49 \sqrt{53} \tilde x^{2}}{106} - 2 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \tilde x^{2}}{2} - \frac{14 \sqrt{53} \tilde x \tilde y}{53} + 14 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} + 2 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}} \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}} + \frac{49 \sqrt{53} \tilde y^{2}}{106} + \frac{9 \tilde y^{2}}{2} + \frac{108}{7} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{53} \tilde x^{2}}{2} + \frac{9 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{53} \tilde y^{2}}{2} + \frac{9 \tilde y^{2}}{2} + \frac{108}{7} = 0$$
Esta ecuación es una elipsis imaginaria
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{18} \sqrt{\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{53}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{18} \sqrt{\frac{\sqrt{53}}{2} + \frac{9}{2}}}\right)^{2}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(16/7, -26/7)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{7 \sqrt{53}}{106}}, \ \sqrt{\frac{7 \sqrt{53}}{106} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 2 x y - 12 x + 8 y^{2} + 64 y + 148 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = -6$$
$$a_{22} = 8$$
$$a_{23} = 32$$
$$a_{33} = 148$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 9$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & -1 & -6\\-1 & 8 & 32\\-6 & 32 & 148\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & -1\\-1 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 9$$
$$I_{2} = 7$$
$$I_{3} = 108$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 9 \lambda + 7$$
$$K_{2} = 272$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} > 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis imaginaria
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 9 \lambda + 7 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{53}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{53}}{2} + \frac{9}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{53}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{\sqrt{53}}{2} + \frac{9}{2}\right) + \frac{108}{7} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{18} \sqrt{\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{53}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{18} \sqrt{\frac{\sqrt{53}}{2} + \frac{9}{2}}}\right)^{2}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
$$x^{2} - 2 x y - 12 x + 8 y^{2} + 64 y + 148 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = -6$$
$$a_{22} = 8$$
$$a_{23} = 32$$
$$a_{33} = 148$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 9$$
|1 -1|
I2 = | |
|-1 8 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & -1 & -6\\-1 & 8 & 32\\-6 & 32 & 148\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & -1\\-1 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|1 -6 | |8 32 |
K2 = | | + | |
|-6 148| |32 148|$$I_{1} = 9$$
$$I_{2} = 7$$
$$I_{3} = 108$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 9 \lambda + 7$$
$$K_{2} = 272$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} > 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis imaginaria
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 9 \lambda + 7 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{53}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{\sqrt{53}}{2} + \frac{9}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{53}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{\sqrt{53}}{2} + \frac{9}{2}\right) + \frac{108}{7} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{18} \sqrt{\frac{9}{2} - \frac{\sqrt{53}}{2}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{18} \sqrt{\frac{\sqrt{53}}{2} + \frac{9}{2}}}\right)^{2}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica