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Forma canónica/ x^2+4y^2-2x-8y+9=0

x^2+4y^2-2x-8y+9=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
     2                  2    
9 + x  - 8*y - 2*x + 4*y  = 0
x2−2x+4y2−8y+9=0x^{2} - 2 x + 4 y^{2} - 8 y + 9 = 0 
x^2 - 2*x + 4*y^2 - 8*y + 9 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2−2x+4y2−8y+9=0x^{2} - 2 x + 4 y^{2} - 8 y + 9 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=0a_{12} = 0
a13=−1a_{13} = -1
a22=4a_{22} = 4
a23=−4a_{23} = -4
a33=9a_{33} = 9
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣1004∣\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|
Δ=4\Delta = 4
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
x0−1=0x_{0} - 1 = 0
4y0−4=04 y_{0} - 4 = 0
entonces
x0=1x_{0} = 1
y0=1y_{0} = 1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−x0−4y0+9a'_{33} = - x_{0} - 4 y_{0} + 9
a33′=4a'_{33} = 4
entonces la ecuación se transformará en
x′2+4y′2+4=0x'^{2} + 4 y'^{2} + 4 = 0
Esta ecuación es una elipsis imaginaria
        2           2     
\tilde x    \tilde y      
--------- + --------- = -1
      2             2     
  / 1\       /  1  \      
  \2 /       |-----|      
             \2*1/2/

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1, 1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2−2x+4y2−8y+9=0x^{2} - 2 x + 4 y^{2} - 8 y + 9 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=0a_{12} = 0
a13=−1a_{13} = -1
a22=4a_{22} = 4
a23=−4a_{23} = -4
a33=9a_{33} = 9
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=5I_{1} = 5
     |1  0|
I2 = |    |
     |0  4|

I3=∣10−104−4−1−49∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -1\\0 & 4 & -4\\-1 & -4 & 9\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ004−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|
     |1   -1|   |4   -4|
K2 = |      | + |      |
     |-1  9 |   |-4  9 |

I1=5I_{1} = 5
I2=4I_{2} = 4
I3=16I_{3} = 16
I(λ)=λ2−5λ+4I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 5 \lambda + 4
K2=28K_{2} = 28
Como
I2>0∧I1I3>0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} > 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis imaginaria
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−5λ+4=0\lambda^{2} - 5 \lambda + 4 = 0
λ1=4\lambda_{1} = 4
λ2=1\lambda_{2} = 1
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
4x~2+y~2+4=04 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} + 4 = 0
        2           2     
\tilde x    \tilde y      
--------- + --------- = -1
        2         2       
 /  1  \      / 1\        
 |-----|      \2 /        
 \2*1/2/

- está reducida a la forma canónica
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