Sr Examen
k=4x^2+2sqrt(15)xx+2x^2 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 ____ 2 k - 6*x - 2*\/ 15 *x = 0
$$k - 2 \sqrt{15} x^{2} - 6 x^{2} = 0$$
k - 2*sqrt(15)*x^2 - 6*x^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$k - 2 \sqrt{15} x^{2} - 6 x^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} k x + 2 a_{13} x + a_{22} k^{2} + 2 a_{23} k + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = - 2 \sqrt{15} - 6$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = \frac{1}{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}- 2 \sqrt{15} - 6 & 0\\0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\tilde x^{2} \left(6 + 2 \sqrt{15}\right) = \tilde k$$
$$\tilde x^{2} = \frac{\tilde k}{6 + 2 \sqrt{15}}$$
$$\tilde x'^{2} = \frac{\tilde k'}{6 + 2 \sqrt{15}}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = - \tilde k \sin{\left(\phi \right)} + \tilde x \cos{\left(\phi \right)}$$
$$k_{0} = \tilde k \cos{\left(\phi \right)} + \tilde x \sin{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0$$
$$k_{0} = 0 \cdot 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$k_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$k - 2 \sqrt{15} x^{2} - 6 x^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} k x + 2 a_{13} x + a_{22} k^{2} + 2 a_{23} k + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = - 2 \sqrt{15} - 6$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = \frac{1}{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}- 2 \sqrt{15} - 6 & 0\\0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\tilde x^{2} \left(6 + 2 \sqrt{15}\right) = \tilde k$$
$$\tilde x^{2} = \frac{\tilde k}{6 + 2 \sqrt{15}}$$
$$\tilde x'^{2} = \frac{\tilde k'}{6 + 2 \sqrt{15}}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = - \tilde k \sin{\left(\phi \right)} + \tilde x \cos{\left(\phi \right)}$$
$$k_{0} = \tilde k \cos{\left(\phi \right)} + \tilde x \sin{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0$$
$$k_{0} = 0 \cdot 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$k_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$k - 2 \sqrt{15} x^{2} - 6 x^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} k x + 2 a_{13} x + a_{22} k^{2} + 2 a_{23} k + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = - 2 \sqrt{15} - 6$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = \frac{1}{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = - 2 \sqrt{15} - 6$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}- 2 \sqrt{15} - 6 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 2 \sqrt{15} - 6 & 0\\0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = - 2 \sqrt{15} - 6$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 6 \lambda + 2 \sqrt{15} \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{1}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde k^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\tilde k^{2} \left(- 2 \sqrt{15} - 6\right) + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{1}{- 2 \sqrt{15} - 6}} \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}} = 0$$
$$\tilde k^{2} = \tilde x \left(- \frac{2 \sqrt{- \frac{1}{- 2 \sqrt{15} - 6}} \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}}}{6 + 2 \sqrt{15}}\right)$$
- está reducida a la forma canónica
$$k - 2 \sqrt{15} x^{2} - 6 x^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} k x + 2 a_{13} x + a_{22} k^{2} + 2 a_{23} k + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = - 2 \sqrt{15} - 6$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = \frac{1}{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = - 2 \sqrt{15} - 6$$
| ____ |
|-6 - 2*\/ 15 0|
I2 = | |
| 0 0|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}- 2 \sqrt{15} - 6 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 2 \sqrt{15} - 6 & 0\\0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
| ____ |
|-6 - 2*\/ 15 0| | 0 1/2|
K2 = | | + | |
| 0 0| |1/2 0 |
$$I_{1} = - 2 \sqrt{15} - 6$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 6 \lambda + 2 \sqrt{15} \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{1}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde k^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\tilde k^{2} \left(- 2 \sqrt{15} - 6\right) + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{1}{- 2 \sqrt{15} - 6}} \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}} = 0$$
$$\tilde k^{2} = \tilde x \left(- \frac{2 \sqrt{- \frac{1}{- 2 \sqrt{15} - 6}} \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}}}{6 + 2 \sqrt{15}}\right)$$
- está reducida a la forma canónica