Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Forma canónica:
  • x^2+y^2-4x-6y-z+13=0
  • -31x^2-24xy+14y^2=0
  • 9x^2-25y^2-36x+100y-289=0
  • 5x^2–6y^2–20x–36y–64=0

  • Expresiones idénticas

  • 5x^ dos –6y^ dos –2 cero x–36y– sesenta y cuatro =0
  • 5x al cuadrado –6y al cuadrado –20x–36y–64 es igual a 0
  • 5x en el grado dos –6y en el grado dos –2 cero x–36y– sesenta y cuatro es igual a 0
  • 5x2–6y2–20x–36y–64=0
  • 5x²–6y²–20x–36y–64=0
  • 5x en el grado 2–6y en el grado 2–20x–36y–64=0
  • 5x^2–6y^2–20x–36y–64=O
Forma canónica/ 5x^2–6y^2–20x–36y–64=0

5x^2–6y^2–20x–36y–64=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                       2      2    
-64 - 36*y - 20*x - 6*y  + 5*x  = 0
5x2−20x−6y2−36y−64=05 x^{2} - 20 x - 6 y^{2} - 36 y - 64 = 0 
5*x^2 - 20*x - 6*y^2 - 36*y - 64 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
5x2−20x−6y2−36y−64=05 x^{2} - 20 x - 6 y^{2} - 36 y - 64 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=5a_{11} = 5
a12=0a_{12} = 0
a13=−10a_{13} = -10
a22=−6a_{22} = -6
a23=−18a_{23} = -18
a33=−64a_{33} = -64
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣500−6∣\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 0\\0 & -6\end{matrix}\right|
Δ=−30\Delta = -30
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
5x0−10=05 x_{0} - 10 = 0
−6y0−18=0- 6 y_{0} - 18 = 0
entonces
x0=2x_{0} = 2
y0=−3y_{0} = -3
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−10x0−18y0−64a'_{33} = - 10 x_{0} - 18 y_{0} - 64
a33′=−30a'_{33} = -30
entonces la ecuación se transformará en
5x′2−6y′2−30=05 x'^{2} - 6 y'^{2} - 30 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~26−y~25=1\frac{\tilde x^{2}}{6} - \frac{\tilde y^{2}}{5} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(2, -3)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
5x2−20x−6y2−36y−64=05 x^{2} - 20 x - 6 y^{2} - 36 y - 64 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=5a_{11} = 5
a12=0a_{12} = 0
a13=−10a_{13} = -10
a22=−6a_{22} = -6
a23=−18a_{23} = -18
a33=−64a_{33} = -64
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−1I_{1} = -1
     |5  0 |
I2 = |     |
     |0  -6|

I3=∣50−100−6−18−10−18−64∣I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 0 & -10\\0 & -6 & -18\\-10 & -18 & -64\end{matrix}\right|
I(λ)=∣5−λ00−λ−6∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}5 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 6\end{matrix}\right|
     | 5   -10|   |-6   -18|
K2 = |        | + |        |
     |-10  -64|   |-18  -64|

I1=−1I_{1} = -1
I2=−30I_{2} = -30
I3=900I_{3} = 900
I(λ)=λ2+λ−30I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \lambda - 30
K2=−360K_{2} = -360
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+λ−30=0\lambda^{2} + \lambda - 30 = 0
λ1=5\lambda_{1} = 5
λ2=−6\lambda_{2} = -6
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
5x~2−6y~2−30=05 \tilde x^{2} - 6 \tilde y^{2} - 30 = 0
x~26−y~25=1\frac{\tilde x^{2}}{6} - \frac{\tilde y^{2}}{5} = 1
- está reducida a la forma canónica
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