Sr Examen

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((y^2+2y)/4)-x=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
         2    
y       y     
- - x + -- = 0
2       4     
$$- x + \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} = 0$$
-x + y^2/4 + y/2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- x + \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = \frac{1}{4}$$
$$a_{23} = \frac{1}{4}$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 0\\0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0$$
$$y_{0} = 0 \cdot 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- x + \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = \frac{1}{4}$$
$$a_{23} = \frac{1}{4}$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = \frac{1}{4}$$
     |0   0 |
I2 = |      |
     |0  1/4|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\- \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0\\0 & \frac{1}{4} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     | 0    -1/2|   |1/4  1/4|
K2 = |          | + |        |
     |-1/2   0  |   |1/4   0 |

$$I_{1} = \frac{1}{4}$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = - \frac{1}{16}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \frac{\lambda}{4}$$
$$K_{2} = - \frac{5}{16}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\tilde x + \frac{\tilde y^{2}}{4} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 4 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica