Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$12 x^{2} - 24 x + 16 y^{2} + 64 y - 116 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 12$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -12$$
$$a_{22} = 16$$
$$a_{23} = 32$$
$$a_{33} = -116$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 28$$
|12 0 |
I2 = | |
|0 16|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}12 & 0 & -12\\0 & 16 & 32\\-12 & 32 & -116\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}12 - \lambda & 0\\0 & 16 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|12 -12 | |16 32 |
K2 = | | + | |
|-12 -116| |32 -116|
$$I_{1} = 28$$
$$I_{2} = 192$$
$$I_{3} = -36864$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 28 \lambda + 192$$
$$K_{2} = -4416$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 28 \lambda + 192 = 0$$
$$\lambda_{1} = 16$$
$$\lambda_{2} = 12$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$16 \tilde x^{2} + 12 \tilde y^{2} - 192 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{4 \frac{\sqrt{3}}{24}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{6} \sqrt{3}}{\frac{1}{24} \sqrt{3}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica