Sr Examen
16x^2+y^2+8xy+10sqrt(17)x-6sqrt(17)y-51=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 ____ ____ -51 + y + 16*x - 6*y*\/ 17 + 8*x*y + 10*x*\/ 17 = 0
$$16 x^{2} + 8 x y + 10 \sqrt{17} x + y^{2} - 6 \sqrt{17} y - 51 = 0$$
16*x^2 + 8*x*y + 10*sqrt(17)*x + y^2 - 6*sqrt(17)*y - 51 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$16 x^{2} + 8 x y + 10 \sqrt{17} x + y^{2} - 6 \sqrt{17} y - 51 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = 4$$
$$a_{13} = 5 \sqrt{17}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = - 3 \sqrt{17}$$
$$a_{33} = -51$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}16 & 4\\4 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{15}{8}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{15}{8} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{8}{17}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{15}{17}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4 \sqrt{17}}{17}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{17}}{17}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}$$
$$y' = \frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$16 x'^{2} + 8 x' y' + 10 \sqrt{17} x' + y'^{2} - 6 \sqrt{17} y' - 51 = 0$$
en
$$\left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right)^{2} + 8 \left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right) \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right) - 6 \sqrt{17} \left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right) + 16 \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right)^{2} + 10 \sqrt{17} \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right) - 51 = 0$$
simplificamos
$$17 \tilde x^{2} + 34 \tilde x - 34 \tilde y - 51 = 0$$
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{4 \sqrt{17}}{17} + 0 \frac{\sqrt{17}}{17}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{17}}{17} + 0 \frac{4 \sqrt{17}}{17}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{4 \sqrt{17}}{17}, \ \frac{\sqrt{17}}{17}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{17}}{17}, \ \frac{4 \sqrt{17}}{17}\right)$$
$$16 x^{2} + 8 x y + 10 \sqrt{17} x + y^{2} - 6 \sqrt{17} y - 51 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = 4$$
$$a_{13} = 5 \sqrt{17}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = - 3 \sqrt{17}$$
$$a_{33} = -51$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}16 & 4\\4 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{15}{8}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{15}{8} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{8}{17}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{15}{17}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4 \sqrt{17}}{17}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{17}}{17}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}$$
$$y' = \frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$16 x'^{2} + 8 x' y' + 10 \sqrt{17} x' + y'^{2} - 6 \sqrt{17} y' - 51 = 0$$
en
$$\left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right)^{2} + 8 \left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right) \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right) - 6 \sqrt{17} \left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right) + 16 \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right)^{2} + 10 \sqrt{17} \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right) - 51 = 0$$
simplificamos
$$17 \tilde x^{2} + 34 \tilde x - 34 \tilde y - 51 = 0$$
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{4 \sqrt{17}}{17} + 0 \frac{\sqrt{17}}{17}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{17}}{17} + 0 \frac{4 \sqrt{17}}{17}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{4 \sqrt{17}}{17}, \ \frac{\sqrt{17}}{17}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{17}}{17}, \ \frac{4 \sqrt{17}}{17}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$16 x^{2} + 8 x y + 10 \sqrt{17} x + y^{2} - 6 \sqrt{17} y - 51 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = 4$$
$$a_{13} = 5 \sqrt{17}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = - 3 \sqrt{17}$$
$$a_{33} = -51$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 17$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}16 & 4 & 5 \sqrt{17}\\4 & 1 & - 3 \sqrt{17}\\5 \sqrt{17} & - 3 \sqrt{17} & -51\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}16 - \lambda & 4\\4 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 17$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -4913$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 17 \lambda$$
$$K_{2} = -1445$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$34 \tilde x + 17 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 2 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$16 x^{2} + 8 x y + 10 \sqrt{17} x + y^{2} - 6 \sqrt{17} y - 51 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 16$$
$$a_{12} = 4$$
$$a_{13} = 5 \sqrt{17}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = - 3 \sqrt{17}$$
$$a_{33} = -51$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 17$$
|16 4|
I2 = | |
|4 1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}16 & 4 & 5 \sqrt{17}\\4 & 1 & - 3 \sqrt{17}\\5 \sqrt{17} & - 3 \sqrt{17} & -51\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}16 - \lambda & 4\\4 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| ____| | ____|
| 16 5*\/ 17 | | 1 -3*\/ 17 |
K2 = | | + | |
| ____ | | ____ |
|5*\/ 17 -51 | |-3*\/ 17 -51 |$$I_{1} = 17$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -4913$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 17 \lambda$$
$$K_{2} = -1445$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$34 \tilde x + 17 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 2 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica