Sr Examen
-x^2+2xy-y^2-2x+7y-2 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 -2 - x - y - 2*x + 7*y + 2*x*y = 0
$$- x^{2} + 2 x y - 2 x - y^{2} + 7 y - 2 = 0$$
-x^2 + 2*x*y - 2*x - y^2 + 7*y - 2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- x^{2} + 2 x y - 2 x - y^{2} + 7 y - 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = \frac{7}{2}$$
$$a_{33} = -2$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- x'^{2} + 2 x' y' - 2 x' - y'^{2} + 7 y' - 2 = 0$$
en
$$- \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + 2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) - 2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + 7 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) - 2 = 0$$
simplificamos
$$\frac{5 \sqrt{2} \tilde x}{2} - 2 \tilde y^{2} + \frac{9 \sqrt{2} \tilde y}{2} - 2 = 0$$
$$\left(\sqrt{2} \tilde y + \frac{9}{4}\right)^{2} = \frac{5 \sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{49}{16}$$
$$\left(\tilde y + \frac{9 \sqrt{2}}{8}\right)^{2} = \frac{5 \sqrt{2} \left(\tilde x + \frac{49 \sqrt{2}}{80}\right)}{4}$$
$$\tilde y'^{2} = \frac{5 \sqrt{2} \tilde x'}{4}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$- x^{2} + 2 x y - 2 x - y^{2} + 7 y - 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = \frac{7}{2}$$
$$a_{33} = -2$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- x'^{2} + 2 x' y' - 2 x' - y'^{2} + 7 y' - 2 = 0$$
en
$$- \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + 2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) - 2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} + 7 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) - 2 = 0$$
simplificamos
$$\frac{5 \sqrt{2} \tilde x}{2} - 2 \tilde y^{2} + \frac{9 \sqrt{2} \tilde y}{2} - 2 = 0$$
$$\left(\sqrt{2} \tilde y + \frac{9}{4}\right)^{2} = \frac{5 \sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{49}{16}$$
$$\left(\tilde y + \frac{9 \sqrt{2}}{8}\right)^{2} = \frac{5 \sqrt{2} \left(\tilde x + \frac{49 \sqrt{2}}{80}\right)}{4}$$
$$\tilde y'^{2} = \frac{5 \sqrt{2} \tilde x'}{4}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- x^{2} + 2 x y - 2 x - y^{2} + 7 y - 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = \frac{7}{2}$$
$$a_{33} = -2$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -2$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 1 & -1\\1 & -1 & \frac{7}{2}\\-1 & \frac{7}{2} & -2\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 1\\1 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -2$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = \frac{25}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 2 \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{37}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\frac{5 \sqrt{2} \tilde x}{2} - 2 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$- x^{2} + 2 x y - 2 x - y^{2} + 7 y - 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = \frac{7}{2}$$
$$a_{33} = -2$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -2$$
|-1 1 |
I2 = | |
|1 -1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 1 & -1\\1 & -1 & \frac{7}{2}\\-1 & \frac{7}{2} & -2\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 1\\1 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
|-1 -1| |-1 7/2|
K2 = | | + | |
|-1 -2| |7/2 -2 |$$I_{1} = -2$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = \frac{25}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 2 \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{37}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\frac{5 \sqrt{2} \tilde x}{2} - 2 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica