Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$2 x^{2} - 3 x y - 3 x + 2 y^{2} + 2 y - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{13} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 1$$
$$a_{33} = -1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}2 & - \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & 2\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = \frac{7}{4}$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$2 x_{0} - \frac{3 y_{0}}{2} - \frac{3}{2} = 0$$
$$- \frac{3 x_{0}}{2} + 2 y_{0} + 1 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{6}{7}$$
$$y_{0} = \frac{1}{7}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - \frac{3 x_{0}}{2} + y_{0} - 1$$
$$a'_{33} = - \frac{15}{7}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$2 x'^{2} - 3 x' y' + 2 y'^{2} - \frac{15}{7} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$2 x'^{2} - 3 x' y' + 2 y'^{2} - \frac{15}{7} = 0$$
en
$$2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 3 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - \frac{15}{7} = 0$$
simplificamos
$$\frac{\tilde x^{2}}{2} + \frac{7 \tilde y^{2}}{2} - \frac{15}{7} = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{15} \sqrt{105}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{7} \sqrt{14}}{\frac{1}{15} \sqrt{105}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(6/7, 1/7)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$