7x^2-10xy-2sqrt(2)x+7y^2-2sqrt(2)y=10 forma canónica

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$7 x^{2} - 10 x y - 2 \sqrt{2} x + 7 y^{2} - 2 \sqrt{2} y - 10 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = -5$$
$$a_{13} = - \sqrt{2}$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = - \sqrt{2}$$
$$a_{33} = -10$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}7 & -5\\-5 & 7\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 24$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$7 x_{0} - 5 y_{0} - \sqrt{2} = 0$$
$$- 5 x_{0} + 7 y_{0} - \sqrt{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$y_{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - \sqrt{2} x_{0} - \sqrt{2} y_{0} - 10$$
$$a'_{33} = -12$$
entonces la ecuación se transformará en
$$7 x'^{2} - 10 x' y' + 7 y'^{2} - 12 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$7 x'^{2} - 10 x' y' + 7 y'^{2} - 12 = 0$$
en
$$7 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 10 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 7 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 12 = 0$$
simplificamos
$$2 \tilde x^{2} + 12 \tilde y^{2} - 12 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{1}{6} \sqrt{3}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{6} \sqrt{3}}{\frac{1}{6} \sqrt{3}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O

   ___    ___ 
 \/ 2   \/ 2  
(-----, -----)
   2      2   

Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$