Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$11 x^{2} - 20 x y - 4 y^{2} - 8 y + 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 11$$
$$a_{12} = -10$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = -4$$
$$a_{23} = -4$$
$$a_{33} = 1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}11 & -10\\-10 & -4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$11 x_{0} - 10 y_{0} = 0$$
$$- 10 x_{0} - 4 y_{0} - 4 = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{5}{18}$$
$$y_{0} = - \frac{11}{36}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 1 - 4 y_{0}$$
$$a'_{33} = \frac{20}{9}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$11 x'^{2} - 20 x' y' - 4 y'^{2} + \frac{20}{9} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}$$
$$y' = - \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$11 x'^{2} - 20 x' y' - 4 y'^{2} + \frac{20}{9} = 0$$
en
$$- 4 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 20 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 11 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + \frac{20}{9} = 0$$
simplificamos
$$16 \tilde x^{2} - 9 \tilde y^{2} + \frac{20}{9} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{5}{36}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{20}{81}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
-11
(-5/18, ----)
36
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$$