Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- Forma canónica:
- 9x^2+52y^2-36x+50y-164=0
- x^2-6x+9=-2y
- 4x^2+y^2/16=4
- x^2–6x–8y=0
- Factorizar el polinomio:
- z^2+2
- Gráfico de la función y =:
-
z^2+2
-
Expresiones idénticas
- z^ dos + dos
- z al cuadrado más 2
- z en el grado dos más dos
- z2+2
- z²+2
- z en el grado 2+2
-
Expresiones semejantes
- z^2-2
z^2+2 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$z^{2} + 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 1$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = 2$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0 & 0\\0 & - \lambda & 0\\0 & 0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \lambda^{2}$$
$$K_{2} = 2$$
$$K_{3} = 0$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge K_{3} = 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$I_{1} \tilde x^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
$$\tilde x^{2} + 2 = 0$$
$$\tilde x^{2} = -2$$
es la ecuación para el tipo dos planos paralelos
- está reducida a la forma canónica
$$z^{2} + 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 1$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = 2$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44| |a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
|0 0| |0 0| |0 0|
I2 = | | + | | + | |
|0 0| |0 1| |0 1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 2\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0 & 0\\0 & - \lambda & 0\\0 & 0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|0 0| |0 0| |1 0|
K2 = | | + | | + | |
|0 2| |0 2| |0 2| |0 0 0| |0 0 0| |0 0 0|
| | | | | |
K3 = |0 0 0| + |0 1 0| + |0 1 0|
| | | | | |
|0 0 2| |0 0 2| |0 0 2|$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \lambda^{2}$$
$$K_{2} = 2$$
$$K_{3} = 0$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge K_{3} = 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$I_{1} \tilde x^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
$$\tilde x^{2} + 2 = 0$$
$$\tilde x^{2} = -2$$
es la ecuación para el tipo dos planos paralelos
- está reducida a la forma canónica