Sr Examen
x^2+2y^2-2x+8y+7=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 7 + x - 2*x + 2*y + 8*y = 0
$$x^{2} - 2 x + 2 y^{2} + 8 y + 7 = 0$$
x^2 - 2*x + 2*y^2 + 8*y + 7 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 2 x + 2 y^{2} + 8 y + 7 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 4$$
$$a_{33} = 7$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 2\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 2$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - 1 = 0$$
$$2 y_{0} + 4 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = -2$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - x_{0} + 4 y_{0} + 7$$
$$a'_{33} = -2$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} + 2 y'^{2} - 2 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$x^{2} - 2 x + 2 y^{2} + 8 y + 7 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 4$$
$$a_{33} = 7$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 2\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 2$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - 1 = 0$$
$$2 y_{0} + 4 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = -2$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - x_{0} + 4 y_{0} + 7$$
$$a'_{33} = -2$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} + 2 y'^{2} - 2 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1, -2)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 2 x + 2 y^{2} + 8 y + 7 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 4$$
$$a_{33} = 7$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -1\\0 & 2 & 4\\-1 & 4 & 7\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0\\0 & 2 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = 2$$
$$I_{3} = -4$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda + 2$$
$$K_{2} = 4$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 2 = 0$$
$$\lambda_{1} = 2$$
$$\lambda_{2} = 1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$2 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 2 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$x^{2} - 2 x + 2 y^{2} + 8 y + 7 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -1$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 4$$
$$a_{33} = 7$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
|1 0|
I2 = | |
|0 2|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -1\\0 & 2 & 4\\-1 & 4 & 7\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0\\0 & 2 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|1 -1| |2 4|
K2 = | | + | |
|-1 7 | |4 7|$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = 2$$
$$I_{3} = -4$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda + 2$$
$$K_{2} = 4$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda + 2 = 0$$
$$\lambda_{1} = 2$$
$$\lambda_{2} = 1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$2 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 2 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{2}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica