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x^4-2*x^2+3=0

x^4-2*x^2+3=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 4      2        
x  - 2*x  + 3 = 0
(x4−2x2)+3=0\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 3 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
(x4−2x2)+3=0\left(x^{4} - 2 x^{2}\right) + 3 = 0
Sustituimos
v=x2v = x^{2}
entonces la ecuación será así:
v2−2v+3=0v^{2} - 2 v + 3 = 0
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
v1=D−b2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
v2=−D−b2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=1a = 1
b=−2b = -2
c=3c = 3
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (3) = -8

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
v1=1+2iv_{1} = 1 + \sqrt{2} i
v2=1−2iv_{2} = 1 - \sqrt{2} i
Entonces la respuesta definitiva es:
Como
v=x2v = x^{2}
entonces
x1=v1x_{1} = \sqrt{v_{1}}
x2=−v1x_{2} = - \sqrt{v_{1}}
x3=v2x_{3} = \sqrt{v_{2}}
x4=−v2x_{4} = - \sqrt{v_{2}}
entonces:
x1=x_{1} =
01+(1+2i)121=1+2i\frac{0}{1} + \frac{\left(1 + \sqrt{2} i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 + \sqrt{2} i}
x2=x_{2} =
01+(−1)(1+2i)121=−1+2i\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 + \sqrt{2} i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 + \sqrt{2} i}
x3=x_{3} =
01+(1−2i)121=1−2i\frac{0}{1} + \frac{\left(1 - \sqrt{2} i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 - \sqrt{2} i}
x4=x_{4} =
01+(−1)(1−2i)121=−1−2i\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 - \sqrt{2} i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 - \sqrt{2} i}
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0020
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Respuesta rápida [src] 
                /    /  ___\\              /    /  ___\\
       4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
x1 = - \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------|
                \     2     /              \     2     /
x1=−34cos⁡(atan⁡(2)2)−34isin⁡(atan⁡(2)2)x_{1} = - \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} 
                /    /  ___\\              /    /  ___\\
       4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
x2 = - \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------|
                \     2     /              \     2     /
x2=−34cos⁡(atan⁡(2)2)+34isin⁡(atan⁡(2)2)x_{2} = - \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} 
              /    /  ___\\              /    /  ___\\
     4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
x3 = \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------|
              \     2     /              \     2     /
x3=34cos⁡(atan⁡(2)2)−34isin⁡(atan⁡(2)2)x_{3} = \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} 
              /    /  ___\\              /    /  ___\\
     4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
x4 = \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------|
              \     2     /              \     2     /
x4=34cos⁡(atan⁡(2)2)+34isin⁡(atan⁡(2)2)x_{4} = \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} 
x4 = 3^(1/4)*cos(atan(sqrt(2))/2) + 3^(1/4)*i*sin(atan(sqrt(2))/2)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
           /    /  ___\\              /    /  ___\\              /    /  ___\\              /    /  ___\\            /    /  ___\\              /    /  ___\\            /    /  ___\\              /    /  ___\\
  4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|   4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|   4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|
- \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------| + - \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------| + \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------| + \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------|
           \     2     /              \     2     /              \     2     /              \     2     /            \     2     /              \     2     /            \     2     /              \     2     /
((34cos⁡(atan⁡(2)2)−34isin⁡(atan⁡(2)2))+((−34cos⁡(atan⁡(2)2)−34isin⁡(atan⁡(2)2))+(−34cos⁡(atan⁡(2)2)+34isin⁡(atan⁡(2)2))))+(34cos⁡(atan⁡(2)2)+34isin⁡(atan⁡(2)2))\left(\left(\sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\left(- \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) + \left(- \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right)\right)\right) + \left(\sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) 
=
0
00 
producto
/           /    /  ___\\              /    /  ___\\\ /           /    /  ___\\              /    /  ___\\\ /         /    /  ___\\              /    /  ___\\\ /         /    /  ___\\              /    /  ___\\\
|  4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|| |  4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|| |4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /|| |4 ___    |atan\\/ 2 /|     4 ___    |atan\\/ 2 /||
|- \/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------||*|- \/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------||*|\/ 3 *cos|-----------| - I*\/ 3 *sin|-----------||*|\/ 3 *cos|-----------| + I*\/ 3 *sin|-----------||
\           \     2     /              \     2     // \           \     2     /              \     2     // \         \     2     /              \     2     // \         \     2     /              \     2     //
(−34cos⁡(atan⁡(2)2)−34isin⁡(atan⁡(2)2))(−34cos⁡(atan⁡(2)2)+34isin⁡(atan⁡(2)2))(34cos⁡(atan⁡(2)2)−34isin⁡(atan⁡(2)2))(34cos⁡(atan⁡(2)2)+34isin⁡(atan⁡(2)2))\left(- \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) \left(- \sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) \left(\sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) \left(\sqrt[4]{3} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{3} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \right)}}{2} \right)}\right) 
=
3
33 
3
Respuesta numérica [src] 
x1 = -1.16877089448037 - 0.605000333706056*i
x2 = 1.16877089448037 + 0.605000333706056*i
x3 = -1.16877089448037 + 0.605000333706056*i
x4 = 1.16877089448037 - 0.605000333706056*i
x4 = 1.16877089448037 - 0.605000333706056*i
Gráfico
x^4-2*x^2+3=0 la ecuación
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