√(x+8)-√(2x-1)=2 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x + 8} - \sqrt{2 x - 1} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x + 8} - \sqrt{2 x - 1}\right)^{2} = 4$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(2 x - 1\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x + 8\right) \left(2 x - 1\right)} + 1^{2} \left(x + 8\right)\right) = 4$$
o
$$3 x - 2 \sqrt{2 x^{2} + 15 x - 8} + 7 = 4$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{2 x^{2} + 15 x - 8} = - 3 x - 3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} + 60 x - 32 = \left(- 3 x - 3\right)^{2}$$
$$8 x^{2} + 60 x - 32 = 9 x^{2} + 18 x + 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 42 x - 41 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 42$$
$$c = -41$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(42)^2 - 4 * (-1) * (-41) = 1600

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 41$$

Como
$$\sqrt{2 x^{2} + 15 x - 8} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} + 15 x - 8} \geq 0$$
entonces
$$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \geq 0$$
o
$$-1 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 41$$
comprobamos:
$$x_{1} = 1$$
$$\sqrt{x_{1} + 8} - \sqrt{2 x_{1} - 1} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(- \sqrt{-1 + 2} + \sqrt{1 + 8}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = 41$$
$$\sqrt{x_{2} + 8} - \sqrt{2 x_{2} - 1} - 2 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{-1 + 2 \cdot 41} + \sqrt{8 + 41}\right) - 2 = 0$$
=

-4 = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 1$$