Tenemos la ecuación:
$$\left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right) + 1 = 0$$
cambiamos
$$\left(- 3 x^{2} + \left(2 x^{3} - 2\right)\right) + 3 = 0$$
o
$$\left(- 3 x^{2} + \left(2 x^{3} - 2 \cdot 1^{3}\right)\right) + 3 \cdot 1^{2} = 0$$
$$- 3 \left(x^{2} - 1^{2}\right) + 2 \left(x^{3} - 1^{3}\right) = 0$$
$$- 3 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right) + 2 \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right) = 0$$
Saquemos el factor común -1 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 1\right) \left(- 3 \left(x + 1\right) + 2 \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right)\right) = 0$$
o
$$\left(x - 1\right) \left(2 x^{2} - x - 1\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 1$$
y además
obtenemos la ecuación
$$2 x^{2} - x - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es para 2*x^3 - 3*x^2 + 1 = 0:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$