4cos^4(x)=11cos(2x)-1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$4 \cos^{4}{\left(x \right)} = 11 \cos{\left(2 x \right)} - 1$$
cambiamos
$$2 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 10\right) \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$4 \cos^{4}{\left(x \right)} - 22 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$4 w^{4} - 22 w^{2} = 0$$
Sustituimos
$$v = w^{2}$$
entonces la ecuación será así:
$$4 v^{2} - 22 v = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = -22$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-22)^2 - 4 * (4) * (0) = 484

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = \frac{11}{2}$$
$$v_{2} = 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
Como
$$v = w^{2}$$
entonces
$$w_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$w_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$w_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$w_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
entonces:
$$w_{1} = $$
$$\frac{0}{1} + \frac{\left(\frac{11}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{\sqrt{22}}{2}$$
$$w_{2} = $$
$$\frac{\left(-1\right) \left(\frac{11}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = - \frac{\sqrt{22}}{2}$$
$$w_{3} = $$
$$\frac{0^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{0}{1} = 0$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{11}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{11}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{11}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{11}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$