Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación 2x-5=7
-
Ecuación 4x=24+x
-
Ecuación -x=4-3(3x-8)
-
Ecuación cos(x/2)=-(1/2)
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 4*x+3*y=-15
- 10*x-1*y=10
- 17*x+14*y=-17
- -10*x+9*y=-6
- Derivada de:
-
x^3+2
- Integral de d{x}:
- x^3+2
- Factorizar el polinomio:
- x^3+2
-
Expresiones idénticas
- x^ tres + dos = cero
- x al cubo más 2 es igual a 0
- x en el grado tres más dos es igual a cero
- x3+2=0
- x³+2=0
- x en el grado 3+2=0
- x^3+2=O
-
Expresiones semejantes
- x^3-2=0
x^3+2=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x^{3} + 2 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
o
$$x = \sqrt[3]{-2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: x = (-2)^(1/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = -2$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -2$$
donde
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x^{3} + 2 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-2}$$
o
$$x = \sqrt[3]{-2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = -2^1/3
Obtenemos la respuesta: x = (-2)^(1/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = -2$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = -2$$
donde
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 2$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 2$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 2$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
3 ___ 3 ___ ___ 3 ___ 3 ___ ___
3 ___ \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3
- \/ 2 + ----- - ------------- + ----- + -------------
2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[3]{2} + \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/3 ___ 3 ___ ___\ /3 ___ 3 ___ ___\
3 ___ |\/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 |
-\/ 2 *|----- - -------------|*|----- + -------------|
\ 2 2 / \ 2 2 /
$$- \sqrt[3]{2} \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-2
$$-2$$
-2
Respuesta rápida
[src]
3 ___ x1 = -\/ 2
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
3 ___ 3 ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 *\/ 3
x2 = ----- - -------------
2 2
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
3 ___ 3 ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 *\/ 3
x3 = ----- + -------------
2 2
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
x3 = 2^(1/3)/2 + 2^(1/3)*sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica
[src]
x1 = 0.629960524947437 + 1.09112363597172*i
x2 = -1.25992104989487
x3 = 0.629960524947437 - 1.09112363597172*i
x3 = 0.629960524947437 - 1.09112363597172*i
Gráfico