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x^3+2=0

x^3+2=0 la ecuación

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v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
 3        
x  + 2 = 0
x3+2=0x^{3} + 2 = 0
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
x3+2=0x^{3} + 2 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
x33=−23\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{-2}
o
x=−23x = \sqrt[3]{-2}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = -2^1/3

Obtenemos la respuesta: x = (-2)^(1/3)

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=xz = x
entonces la ecuación será así:
z3=−2z^{3} = -2
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=−2r^{3} e^{3 i p} = -2
donde
r=23r = \sqrt[3]{2}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=−1e^{3 i p} = -1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=−1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1
es decir
cos⁡(3p)=−1\cos{\left(3 p \right)} = -1
y
sin⁡(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
entonces
p=2πN3+π3p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=−23z_{1} = - \sqrt[3]{2}
z2=232−233i2z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}
z3=232+233i2z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}
hacemos cambio inverso
z=xz = x
x=zx = z

Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−23x_{1} = - \sqrt[3]{2}
x2=232−233i2x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}
x3=232+233i2x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
px2+qx+v+x3=0p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0
donde
p=bap = \frac{b}{a}
p=0p = 0
q=caq = \frac{c}{a}
q=0q = 0
v=dav = \frac{d}{a}
v=2v = 2
Fórmulas de Cardano-Vieta
x1+x2+x3=−px_{1} + x_{2} + x_{3} = - p
x1x2+x1x3+x2x3=qx_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q
x1x2x3=vx_{1} x_{2} x_{3} = v
x1+x2+x3=0x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0
x1x2+x1x3+x2x3=0x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0
x1x2x3=2x_{1} x_{2} x_{3} = 2
Gráfica
-15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.5-20002000
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
          3 ___     3 ___   ___   3 ___     3 ___   ___
  3 ___   \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3    \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
- \/ 2  + ----- - ------------- + ----- + -------------
            2           2           2           2
(−23+(232−233i2))+(232+233i2)\left(- \sqrt[3]{2} + \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) 
=
0
00 
producto
       /3 ___     3 ___   ___\ /3 ___     3 ___   ___\
 3 ___ |\/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 |
-\/ 2 *|----- - -------------|*|----- + -------------|
       \  2           2      / \  2           2      /
−23(232−233i2)(232+233i2)- \sqrt[3]{2} \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) 
=
-2
−2-2 
-2
Respuesta rápida [src] 
      3 ___
x1 = -\/ 2
x1=−23x_{1} = - \sqrt[3]{2} 
     3 ___     3 ___   ___
     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x2 = ----- - -------------
       2           2
x2=232−233i2x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2} 
     3 ___     3 ___   ___
     \/ 2    I*\/ 2 *\/ 3 
x3 = ----- + -------------
       2           2
x3=232+233i2x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2} 
x3 = 2^(1/3)/2 + 2^(1/3)*sqrt(3)*i/2
Respuesta numérica [src] 
x1 = 0.629960524947437 + 1.09112363597172*i
x2 = -1.25992104989487
x3 = 0.629960524947437 - 1.09112363597172*i
x3 = 0.629960524947437 - 1.09112363597172*i
Gráfico
x^3+2=0 la ecuación
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