(4y-3)(y+6)+(y-2)(y+2)=7(3y+4) la ecuación

Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$\left(y - 2\right) \left(y + 2\right) + \left(y + 6\right) \left(4 y - 3\right) = 7 \left(3 y + 4\right)$$
en
$$- 7 \left(3 y + 4\right) + \left(\left(y - 2\right) \left(y + 2\right) + \left(y + 6\right) \left(4 y - 3\right)\right) = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$- 7 \left(3 y + 4\right) + \left(\left(y - 2\right) \left(y + 2\right) + \left(y + 6\right) \left(4 y - 3\right)\right) = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$5 y^{2} - 50 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*y^2 + b*y + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 5$$
$$b = 0$$
$$c = -50$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (5) * (-50) = 1000

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$y_{1} = \sqrt{10}$$
$$y_{2} = - \sqrt{10}$$