Sr Examen
x³+6x²+12x+9=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 x + 6*x + 12*x + 9 = 0
$$\left(12 x + \left(x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) + 9 = 0$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(12 x + \left(x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) + 9 = 0$$
cambiamos
$$\left(12 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(x^{3} + 27\right)\right) - 54\right)\right) + 36 = 0$$
o
$$\left(12 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(x^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) - 6 \left(-3\right)^{2}\right)\right) - -36 = 0$$
$$12 \left(x + 3\right) + \left(6 \left(x^{2} - \left(-3\right)^{2}\right) + \left(x^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$12 \left(x + 3\right) + \left(\left(x - 3\right) 6 \left(x + 3\right) + \left(x + 3\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 3 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 3\right) \left(\left(6 \left(x - 3\right) + \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) + 12\right) = 0$$
o
$$\left(x + 3\right) \left(x^{2} + 3 x + 3\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -3$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 3 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = 3$$
, entonces
Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
o
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + 6*x^2 + 12*x + 9 = 0:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$\left(12 x + \left(x^{3} + 6 x^{2}\right)\right) + 9 = 0$$
cambiamos
$$\left(12 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(x^{3} + 27\right)\right) - 54\right)\right) + 36 = 0$$
o
$$\left(12 x + \left(\left(6 x^{2} + \left(x^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) - 6 \left(-3\right)^{2}\right)\right) - -36 = 0$$
$$12 \left(x + 3\right) + \left(6 \left(x^{2} - \left(-3\right)^{2}\right) + \left(x^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$12 \left(x + 3\right) + \left(\left(x - 3\right) 6 \left(x + 3\right) + \left(x + 3\right) \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común 3 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x + 3\right) \left(\left(6 \left(x - 3\right) + \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) + 12\right) = 0$$
o
$$\left(x + 3\right) \left(x^{2} + 3 x + 3\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = -3$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 3 x + 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 3$$
$$c = 3$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(3)^2 - 4 * (1) * (3) = -3
Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.
x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + 6*x^2 + 12*x + 9 = 0:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 6$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 12$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 9$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -6$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 12$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 9$$
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 6$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 12$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 9$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -6$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 12$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 9$$
Respuesta rápida
[src]
x1 = -3
$$x_{1} = -3$$
___
3 I*\/ 3
x2 = - - - -------
2 2
$$x_{2} = - \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
___
3 I*\/ 3
x3 = - - + -------
2 2
$$x_{3} = - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
x3 = -3/2 + sqrt(3)*i/2
Suma y producto de raíces
[src]
suma
___ ___
3 I*\/ 3 3 I*\/ 3
-3 + - - - ------- + - - + -------
2 2 2 2
$$\left(-3 + \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-6
$$-6$$
producto
/ ___\ / ___\ | 3 I*\/ 3 | | 3 I*\/ 3 | -3*|- - - -------|*|- - + -------| \ 2 2 / \ 2 2 /
$$- 3 \left(- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
-9
$$-9$$
-9
Respuesta numérica
[src]
x1 = -3.0
x2 = -1.5 - 0.866025403784439*i
x3 = -1.5 + 0.866025403784439*i
x3 = -1.5 + 0.866025403784439*i