Sr Examen
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación 9x^2-1=0
-
Ecuación -0,6x^2+18=0
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Ecuación x/2-6=x/6
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Ecuación 1/(1+e^(-x))=0.49
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- -18*x-8*y=-18
- -13*x+12*y=-19
- -1*x+11*y=-9
- 4*x-4*y=-19
-
Expresiones idénticas
- z^ tres -(uno +i)/i= cero
- z al cubo menos (1 más i) dividir por i es igual a 0
- z en el grado tres menos (uno más i) dividir por i es igual a cero
- z3-(1+i)/i=0
- z3-1+i/i=0
- z³-(1+i)/i=0
- z en el grado 3-(1+i)/i=0
- z^3-1+i/i=0
- z^3-(1+i)/i=O
- z^3-(1+i) dividir por i=0
-
Expresiones semejantes
- z^3+(1+i)/i=0
- z^3-(1-i)/i=0
z^3-(1+i)/i=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$z^{3} - \frac{1 + i}{i} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- i \left(1 + i\right)}$$
o
$$z = \sqrt[3]{- i \left(1 + i\right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: z = (1 - i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - i \left(1 + i\right)$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - i \left(1 + i\right)$$
donde
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{2} i \left(1 + i\right)}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2} i \left(1 + i\right)}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z^{3} - \frac{1 + i}{i} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{- i \left(1 + i\right)}$$
o
$$z = \sqrt[3]{- i \left(1 + i\right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
z = -i*+1+i)^1/3
Obtenemos la respuesta: z = (1 - i)^(1/3)
Las demás 3 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$w = z$$
entonces la ecuación será así:
$$w^{3} = - i \left(1 + i\right)$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$w = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = - i \left(1 + i\right)$$
donde
$$r = \sqrt[6]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = - \frac{\sqrt{2} i \left(1 + i\right)}{2}$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2} i \left(1 + i\right)}{2}$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{12}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para w
Es decir, la solución será para w:
$$w_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$w_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$w = z$$
$$z = w$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} i}{4}$$
Teorema de Cardano-Vieta
es ecuación cúbica reducida
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1 + i}{i}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \frac{1 + i}{i}$$
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
donde
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = - \frac{1 + i}{i}$$
Fórmulas de Cardano-Vieta
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = - \frac{1 + i}{i}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces
[src]
suma
2/3 2/3 2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___ 2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___ 2 I*2 2 |2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 2 |2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 - ---- - ------ + ---- + I*|---- - ----------| + ---------- + ---- + I*|---- + ----------| - ---------- 2 2 4 \ 4 4 / 4 4 \ 4 4 / 4
$$\left(\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right)\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$
=
/ 2/3 2/3 ___\ / 2/3 2/3 ___\ 2/3 |2 2 *\/ 3 | |2 2 *\/ 3 | I*2 I*|---- - ----------| + I*|---- + ----------| - ------ \ 4 4 / \ 4 4 / 2
$$- \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right) + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)$$
producto
/ 2/3 2/3\ / 2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___\ / 2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___\ | 2 I*2 | |2 |2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 | |2 |2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3 | |- ---- - ------|*|---- + I*|---- - ----------| + ----------|*|---- + I*|---- + ----------| - ----------| \ 2 2 / \ 4 \ 4 4 / 4 / \ 4 \ 4 4 / 4 /
$$\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)\right)$$
=
1 - I
$$1 - i$$
1 - i
Respuesta rápida
[src]
2/3 2/3
2 I*2
z1 = - ---- - ------
2 2
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___
2 |2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3
z2 = ---- + I*|---- - ----------| + ----------
4 \ 4 4 / 4
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4}\right)$$
2/3 / 2/3 2/3 ___\ 2/3 ___
2 |2 2 *\/ 3 | 2 *\/ 3
z3 = ---- + I*|---- + ----------| - ----------
4 \ 4 4 / 4
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + i \left(\frac{2^{\frac{2}{3}}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4}\right)$$
z3 = -2^(2/3)*sqrt(3)/4 + 2^(2/3)/4 + i*(2^(2/3)/4 + 2^(2/3)*sqrt(3)/4)
Respuesta numérica
[src]
z1 = 1.08421508149135 - 0.290514555507251*i
z2 = -0.290514555507251 + 1.08421508149135*i
z3 = -0.7937005259841 - 0.7937005259841*i
z3 = -0.7937005259841 - 0.7937005259841*i