Sr Examen

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¿Cómo usar?
La ecuación:
Ecuación 2*x^2+6*x+9=0
Ecuación tan(x)=-1
Ecuación 1-7*(4+2*x)=-9-4*x
Ecuación 3*x+5+(x+5)=(1-x)+4
Expresar {x} en función de y en la ecuación:
-13*x+9*y=1
9*x-4*y=2
-1*x+17*y=-12
17*x+9*y=14
Expresiones idénticas
27cos^3x– ocho = cero
27 coseno de al cubo x–8 es igual a 0
27 coseno de al cubo x– ocho es igual a cero
27cos3x–8=0
27cos³x–8=0
27cos en el grado 3x–8=0
27cos^3x–8=O

27cos^3x–8=0 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

Solución

Ha introducido [src]

      3           
27*cos (x) - 8 = 0

27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0

Simplificar

Solución detallada

Tenemos la ecuación

27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0

cambiamos

27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0

27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0

Sustituimos

w = \cos{\left(x \right)}

Tenemos la ecuación

27 w^{3} - 8 = 0

Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:

\sqrt[3]{27} \sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{8}

3 w = 2

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3

w = 2 / (3)

Obtenemos la respuesta: w = 2/3

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:

z = w

entonces la ecuación será así:

z^{3} = \frac{8}{27}

Cualquier número complejo se puede presentar que:

z = r e^{i p}

sustituimos en la ecuación

r^{3} e^{3 i p} = \frac{8}{27}

donde

r = \frac{2}{3}

- módulo del número complejo
Sustituyamos r:

e^{3 i p} = 1

Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p

i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1

es decir

\cos{\left(3 p \right)} = 1

\sin{\left(3 p \right)} = 0

entonces

p = \frac{2 \pi N}{3}

donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:

z_{1} = \frac{2}{3}

z_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3}

z_{3} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3}

hacemos cambio inverso

z = w

w = z

Entonces la respuesta definitiva es:

w_{1} = \frac{2}{3}

w_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3}

w_{3} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3}

hacemos cambio inverso

\cos{\left(x \right)} = w

Tenemos la ecuación

\cos{\left(x \right)} = w

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}

x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi

x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}

x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi

, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:

x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}

x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}

x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}

x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi

x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}

x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}

Gráfica

Trazar el gráfico f1(x)

Trazar el gráfico f2(x)

Suma y producto de raíces [src]

suma

                                    /    /          ___\\              /    /          ___\\       /    /          ___\\              /    /          ___\\       /    /          ___\\     /    /          ___\\       /    /          ___\\     /    /          ___\\
                                    |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||       |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||       |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||       |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||
-acos(2/3) + 2*pi + acos(2/3) + - re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------|| + - re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------|| + I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|| + I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------||
                                    \    \  3      3   //              \    \  3      3   //       \    \  3      3   //              \    \  3      3   //       \    \  3      3   //     \    \  3      3   //       \    \  3      3   //     \    \  3      3   //

\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right)\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right)\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right)\right)

6*pi

6 \pi

producto

                              /    /    /          ___\\              /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\              /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\     /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\     /    /          ___\\\
                              |    |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||| |    |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||| |    |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||| |    |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 |||
(-acos(2/3) + 2*pi)*acos(2/3)*|- re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------|||*|- re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------|||*|I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|||*|I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------|||
                              \    \    \  3      3   //              \    \  3      3   /// \    \    \  3      3   //              \    \  3      3   /// \    \    \  3      3   //     \    \  3      3   /// \    \    \  3      3   //     \    \  3      3   ///

\left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right) \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right)

                    /    /    /          ___\\     /    /          ___\\\ /    /    /          ___\\     /    /          ___\\\ /            /    /          ___\\     /    /          ___\\\ /            /    /          ___\\     /    /          ___\\\          
                    |    |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||| |    |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||| |            |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||| |            |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 |||          
(-acos(2/3) + 2*pi)*|I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|||*|I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------|||*|-2*pi + I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|||*|-2*pi + I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------|||*acos(2/3)
                    \    \    \  3      3   //     \    \  3      3   /// \    \    \  3      3   //     \    \  3      3   /// \            \    \  3      3   //     \    \  3      3   /// \            \    \  3      3   //     \    \  3      3   ///

\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}

(-acos(2/3) + 2*pi)*(i*im(acos(-1/3 - i*sqrt(3)/3)) + re(acos(-1/3 - i*sqrt(3)/3)))*(i*im(acos(-1/3 + i*sqrt(3)/3)) + re(acos(-1/3 + i*sqrt(3)/3)))*(-2*pi + i*im(acos(-1/3 - i*sqrt(3)/3)) + re(acos(-1/3 - i*sqrt(3)/3)))*(-2*pi + i*im(acos(-1/3 + i*sqrt(3)/3)) + re(acos(-1/3 + i*sqrt(3)/3)))*acos(2/3)

Respuesta rápida [src]

x1 = -acos(2/3) + 2*pi

x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi

x2 = acos(2/3)

x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}

         /    /          ___\\              /    /          ___\\
         |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||
x3 = - re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------||
         \    \  3      3   //              \    \  3      3   //

x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}

         /    /          ___\\              /    /          ___\\
         |    |  1   I*\/ 3 ||              |    |  1   I*\/ 3 ||
x4 = - re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------||
         \    \  3      3   //              \    \  3      3   //

x_{4} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}

         /    /          ___\\     /    /          ___\\
         |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||
x5 = I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------||
         \    \  3      3   //     \    \  3      3   //

x_{5} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}

         /    /          ___\\     /    /          ___\\
         |    |  1   I*\/ 3 ||     |    |  1   I*\/ 3 ||
x6 = I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------||
         \    \  3      3   //     \    \  3      3   //

x_{6} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}

x6 = re(acos(-1/3 + sqrt(3)*i/3)) + i*im(acos(-1/3 + sqrt(3)*i/3))

Respuesta numérica [src]

x1 = -99.6898962443055

x2 = 69.9561070495434

x3 = 61.9907844012279

x4 = 214.469369114674

x5 = 49.4244137868688

x6 = 82.5224776639025

x7 = -61.9907844012279

x8 = 18.0084872509708

x9 = -49.4244137868688

x10 = -80.8403403227667

x11 = -69.9561070495434

x12 = 99.6898962443055

x13 = -55.7075990940483

x14 = 87.1235256299463

x15 = 101.372033585441

x16 = -18.0084872509708

x17 = 74.5571550155871

x18 = 76.239292356723

x19 = -13.4074392849271

x20 = 63.6729217423638

x21 = 25.9738098992863

x22 = -57.3897364351842

x23 = 19.6906245921067

x24 = 24.2916725581504

x25 = 95.0888482782617

x26 = -24.2916725581504

x27 = 124.822637473024

x28 = -19.6906245921067

x29 = 44.823365820825

x30 = -87.1235256299463

x31 = 55.7075990940483

x32 = -82.5224776639025

x33 = 68.2739697084075

x34 = -44.823365820825

x35 = 51.1065511280046

x36 = -36.8580431725096

x37 = -76.239292356723

x38 = -63.6729217423638

x39 = -25.9738098992863

x40 = 38.5401805136454

x41 = 0.84106867056793

x42 = -43.1412284796892

x43 = 88.8056629710821

x44 = 32.2569952064659

x45 = -5.44211663661166

x46 = -93.4067109371259

x47 = 5.44211663661166

x48 = -68.2739697084075

x49 = 30.57485786533

x50 = 7.12425397774752

x51 = 11.7253019437912

x52 = 105.973081551485

x53 = -38.5401805136454

x54 = -11.7253019437912

x55 = -32.2569952064659

x56 = 43.1412284796892

x57 = -101.372033585441

x58 = -88.8056629710821

x59 = -0.84106867056793

x59 = -0.84106867056793

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¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

27cos^3x–8=0 la ecuación

Solución numérica:

Solución