Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- La ecuación:
-
Ecuación |x^2-1|-|x-3|=7
-
Ecuación 2^2-x-1=x^2-5*x-(-1-x^2)
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Ecuación x^4=(4*x-21)^2
-
Ecuación x^2+9=(x+9)^2
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 15*x+15*y=16
- -13*x+9*y=1
- -18*x-1*y=-11
- 4*x-7*y=12
-
Expresiones idénticas
- 27cos^3x– ocho = cero
- 27 coseno de al cubo x–8 es igual a 0
- 27 coseno de al cubo x– ocho es igual a cero
- 27cos3x–8=0
- 27cos³x–8=0
- 27cos en el grado 3x–8=0
- 27cos^3x–8=O
27cos^3x–8=0 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0$$
cambiamos
$$27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0$$
$$27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$27 w^{3} - 8 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{27} \sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
o
$$3 w = 2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3
Obtenemos la respuesta: w = 2/3
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{8}{27}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{8}{27}$$
donde
$$r = \frac{2}{3}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{2}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{2}{3}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$w_{3} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0$$
cambiamos
$$27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0$$
$$27 \cos^{3}{\left(x \right)} - 8 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$27 w^{3} - 8 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{27} \sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{8}$$
o
$$3 w = 2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3
w = 2 / (3)
Obtenemos la respuesta: w = 2/3
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{8}{27}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{8}{27}$$
donde
$$r = \frac{2}{3}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{2}{3}$$
$$z_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{2}{3}$$
$$w_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
$$w_{3} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\ / / ___\\
| | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||
-acos(2/3) + 2*pi + acos(2/3) + - re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------|| + - re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------|| + I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|| + I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------||
\ \ 3 3 // \ \ 3 3 // \ \ 3 3 // \ \ 3 3 // \ \ 3 3 // \ \ 3 3 // \ \ 3 3 // \ \ 3 3 //
$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(\left(\operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right)\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right)\right) + \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right)\right) + \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right)\right)$$
=
6*pi
$$6 \pi$$
producto
/ / / ___\\ / / ___\\\ / / / ___\\ / / ___\\\ / / / ___\\ / / ___\\\ / / / ___\\ / / ___\\\
| | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||| | | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||| | | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||| | | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 |||
(-acos(2/3) + 2*pi)*acos(2/3)*|- re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------|||*|- re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------|||*|I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|||*|I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------|||
\ \ \ 3 3 // \ \ 3 3 /// \ \ \ 3 3 // \ \ 3 3 /// \ \ \ 3 3 // \ \ 3 3 /// \ \ \ 3 3 // \ \ 3 3 ///
$$\left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right) \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right)$$
=
/ / / ___\\ / / ___\\\ / / / ___\\ / / ___\\\ / / / ___\\ / / ___\\\ / / / ___\\ / / ___\\\
| | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||| | | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||| | | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||| | | | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 |||
(-acos(2/3) + 2*pi)*|I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|||*|I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------|||*|-2*pi + I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------|||*|-2*pi + I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------|||*acos(2/3)
\ \ \ 3 3 // \ \ 3 3 /// \ \ \ 3 3 // \ \ 3 3 /// \ \ \ 3 3 // \ \ 3 3 /// \ \ \ 3 3 // \ \ 3 3 ///
$$\left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(- \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \left(- 2 \pi + \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}\right) \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
(-acos(2/3) + 2*pi)*(i*im(acos(-1/3 - i*sqrt(3)/3)) + re(acos(-1/3 - i*sqrt(3)/3)))*(i*im(acos(-1/3 + i*sqrt(3)/3)) + re(acos(-1/3 + i*sqrt(3)/3)))*(-2*pi + i*im(acos(-1/3 - i*sqrt(3)/3)) + re(acos(-1/3 - i*sqrt(3)/3)))*(-2*pi + i*im(acos(-1/3 + i*sqrt(3)/3)) + re(acos(-1/3 + i*sqrt(3)/3)))*acos(2/3)
Respuesta rápida
[src]
x1 = -acos(2/3) + 2*pi
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)} + 2 \pi$$
x2 = acos(2/3)
$$x_{2} = \operatorname{acos}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||
x3 = - re|acos|- - - -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - - -------||
\ \ 3 3 // \ \ 3 3 //
$$x_{3} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||
x4 = - re|acos|- - + -------|| + 2*pi - I*im|acos|- - + -------||
\ \ 3 3 // \ \ 3 3 //
$$x_{4} = - \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + 2 \pi - i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||
x5 = I*im|acos|- - - -------|| + re|acos|- - - -------||
\ \ 3 3 // \ \ 3 3 //
$$x_{5} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}$$
/ / ___\\ / / ___\\
| | 1 I*\/ 3 || | | 1 I*\/ 3 ||
x6 = I*im|acos|- - + -------|| + re|acos|- - + -------||
\ \ 3 3 // \ \ 3 3 //
$$x_{6} = \operatorname{re}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)} + i \operatorname{im}{\left(\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3} i}{3} \right)}\right)}$$
x6 = re(acos(-1/3 + sqrt(3)*i/3)) + i*im(acos(-1/3 + sqrt(3)*i/3))
Respuesta numérica
[src]
x1 = -99.6898962443055
x2 = 69.9561070495434
x3 = 61.9907844012279
x4 = 214.469369114674
x5 = 49.4244137868688
x6 = 82.5224776639025
x7 = -61.9907844012279
x8 = 18.0084872509708
x9 = -49.4244137868688
x10 = -80.8403403227667
x11 = -69.9561070495434
x12 = 99.6898962443055
x13 = -55.7075990940483
x14 = 87.1235256299463
x15 = 101.372033585441
x16 = -18.0084872509708
x17 = 74.5571550155871
x18 = 76.239292356723
x19 = -13.4074392849271
x20 = 63.6729217423638
x21 = 25.9738098992863
x22 = -57.3897364351842
x23 = 19.6906245921067
x24 = 24.2916725581504
x25 = 95.0888482782617
x26 = -24.2916725581504
x27 = 124.822637473024
x28 = -19.6906245921067
x29 = 44.823365820825
x30 = -87.1235256299463
x31 = 55.7075990940483
x32 = -82.5224776639025
x33 = 68.2739697084075
x34 = -44.823365820825
x35 = 51.1065511280046
x36 = -36.8580431725096
x37 = -76.239292356723
x38 = -63.6729217423638
x39 = -25.9738098992863
x40 = 38.5401805136454
x41 = 0.84106867056793
x42 = -43.1412284796892
x43 = 88.8056629710821
x44 = 32.2569952064659
x45 = -5.44211663661166
x46 = -93.4067109371259
x47 = 5.44211663661166
x48 = -68.2739697084075
x49 = 30.57485786533
x50 = 7.12425397774752
x51 = 11.7253019437912
x52 = 105.973081551485
x53 = -38.5401805136454
x54 = -11.7253019437912
x55 = -32.2569952064659
x56 = 43.1412284796892
x57 = -101.372033585441
x58 = -88.8056629710821
x59 = -0.84106867056793
x59 = -0.84106867056793