|x+2|-|3x-6|=1 la ecuación

Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x + 2 \geq 0$$
$$3 x - 6 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x + 2\right) - \left(3 x - 6\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$7 - 2 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$

2.
$$x + 2 \geq 0$$
$$3 x - 6 < 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$- (6 - 3 x) + \left(x + 2\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$4 x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = \frac{5}{4}$$

3.
$$x + 2 < 0$$
$$3 x - 6 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x + 2 < 0$$
$$3 x - 6 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$- (6 - 3 x) + \left(- x - 2\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 9 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = \frac{9}{2}$$
pero x3 no satisface a la desigualdad


Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{4}$$