4*cos(x)*cos(2x)=1 la ecuación

Tenemos la ecuación
$$4 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 1$$
cambiamos
$$8 \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 = 0$$
$$8 \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$8 w^{3} - 2 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt[3]{8} \sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{2}$$
o
$$2 w = \sqrt[3]{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

2*w = 2^1/3

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

w = 2^(1/3) / (2)

Obtenemos la respuesta: w = 2^(1/3)/2

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = w$$
entonces la ecuación será así:
$$z^{3} = \frac{1}{4}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{4}$$
donde
$$r = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
y
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$z = w$$
$$w = z$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
$$w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \right)}$$