Sr Examen

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4*cos(x)*cos(2x)=1 la ecuación

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Solución numérica:

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Solución

Ha introducido [src] 
4*cos(x)*cos(2*x) = 1
4cos⁡(x)cos⁡(2x)=14 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 1
Simplificar
Solución detallada
Tenemos la ecuación
4cos⁡(x)cos⁡(2x)=14 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 1
cambiamos
8cos⁡3(x)−2=08 \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 = 0
8cos⁡3(x)−2=08 \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 = 0
Sustituimos
w=cos⁡(x)w = \cos{\left(x \right)}
Tenemos la ecuación
8w3−2=08 w^{3} - 2 = 0
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia 3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
83w33=23\sqrt[3]{8} \sqrt[3]{w^{3}} = \sqrt[3]{2}
o
2w=232 w = \sqrt[3]{2}
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
2*w = 2^1/3

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2
w = 2^(1/3) / (2)

Obtenemos la respuesta: w = 2^(1/3)/2

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
z=wz = w
entonces la ecuación será así:
z3=14z^{3} = \frac{1}{4}
Cualquier número complejo se puede presentar que:
z=reipz = r e^{i p}
sustituimos en la ecuación
r3e3ip=14r^{3} e^{3 i p} = \frac{1}{4}
donde
r=232r = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
e3ip=1e^{3 i p} = 1
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
isin⁡(3p)+cos⁡(3p)=1i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1
es decir
cos⁡(3p)=1\cos{\left(3 p \right)} = 1
y
sin⁡(3p)=0\sin{\left(3 p \right)} = 0
entonces
p=2πN3p = \frac{2 \pi N}{3}
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
z1=232z_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}
z2=−234−233i4z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}
z3=−234+233i4z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}
hacemos cambio inverso
z=wz = w
w=zw = z

Entonces la respuesta definitiva es:
w1=232w_{1} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}
w2=−234−233i4w_{2} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}
w3=−234+233i4w_{3} = - \frac{\sqrt[3]{2}}{4} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{4}
hacemos cambio inverso
cos⁡(x)=w\cos{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
cos⁡(x)=w\cos{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=πn+acos⁡(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
x=πn+acos⁡(w)−πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
O
x=πn+acos⁡(w)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}
x=πn+acos⁡(w)−πx = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=πn+acos⁡(w1)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}
x1=πn+acos⁡(232)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \right)}
x1=πn+acos⁡(232)x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \right)}
x2=πn+acos⁡(w1)−πx_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi
x2=πn−π+acos⁡(232)x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \right)}
x2=πn−π+acos⁡(232)x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} \right)}
Gráfica
0-80-60-40-2020406080-100100-1010
Trazar el gráfico f1(x)
Trazar el gráfico f2(x)
Suma y producto de raíces [src] 
suma
  2*pi   3*pi   pi   pi   3*pi   2*pi
- ---- - ---- - -- + -- + ---- + ----
   3      5     5    5     5      3
((((−2π3−3π5)−π5)+π5)+3π5)+2π3\left(\left(\left(\left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{3 \pi}{5}\right) - \frac{\pi}{5}\right) + \frac{\pi}{5}\right) + \frac{3 \pi}{5}\right) + \frac{2 \pi}{3} 
=
0
00 
producto
-2*pi -3*pi -pi  pi 3*pi 2*pi
-----*-----*----*--*----*----
  3     5    5   5   5    3
2π33π5π5⋅−π5⋅−2π3(−3π5)\frac{2 \pi}{3} \frac{3 \pi}{5} \frac{\pi}{5} \cdot - \frac{\pi}{5} \cdot - \frac{2 \pi}{3} \left(- \frac{3 \pi}{5}\right) 
=
     6
-4*pi 
------
 625
−4π6625- \frac{4 \pi^{6}}{625} 
-4*pi^6/625
Respuesta rápida [src] 
     -2*pi
x1 = -----
       3
x1=−2π3x_{1} = - \frac{2 \pi}{3} 
     -3*pi
x2 = -----
       5
x2=−3π5x_{2} = - \frac{3 \pi}{5} 
     -pi 
x3 = ----
      5
x3=−π5x_{3} = - \frac{\pi}{5} 
     pi
x4 = --
     5
x4=π5x_{4} = \frac{\pi}{5} 
     3*pi
x5 = ----
      5
x5=3π5x_{5} = \frac{3 \pi}{5} 
     2*pi
x6 = ----
      3
x6=2π3x_{6} = \frac{2 \pi}{3} 
x6 = 2*pi/3
Respuesta numérica [src] 
x1 = -19.4778744522567
x2 = -8.16814089933346
x3 = 96.1327351998477
x4 = 42.0973415581032
x5 = -62.2035345410779
x6 = -76.026542216873
x7 = -85.870199198121
x8 = -4.18879020478639
x9 = 73.3038285837618
x10 = 99.9026463841554
x11 = -68.4867198482575
x12 = 2.0943951023932
x13 = -73.5132680940012
x14 = 33.5103216382911
x15 = -32.0442450666159
x16 = 39.7935069454707
x17 = 86.0796387083603
x18 = 14.451326206513
x19 = -39.7935069454707
x20 = 18.2212373908208
x21 = 29.3215314335047
x22 = -77.4926187885482
x23 = 88.5929128312322
x24 = -99.9026463841554
x25 = 8.16814089933346
x26 = 58.4336233567702
x27 = 11.9380520836412
x28 = 98.4365698124802
x29 = -29.5309709437441
x30 = 38.3274303737955
x31 = 20.943951023932
x32 = -41.8879020478639
x33 = 49.6371639267187
x34 = 55.9203492338983
x35 = -5.65486677646163
x36 = 64.9262481741891
x37 = -49.6371639267187
x38 = 60.7374579694027
x39 = 90.0589894029074
x40 = -18.2212373908208
x41 = -69.7433569096934
x42 = -1.88495559215388
x43 = -93.6194610769758
x44 = -55.9203492338983
x45 = 62.2035345410779
x46 = -79.7964534011807
x47 = 93.6194610769758
x48 = 25.7610597594363
x49 = -11.9380520836412
x50 = 44.6106156809751
x51 = -45.867252742411
x52 = -14.6607657167524
x53 = -52.1504380495906
x54 = -25.7610597594363
x55 = 77.4926187885482
x56 = 76.026542216873
x57 = -58.6430628670095
x58 = -33.5103216382911
x59 = 16.7551608191456
x60 = 69.7433569096934
x61 = 0.628318530717959
x62 = -35.8141562509236
x63 = 24.5044226980004
x64 = -27.2271363311115
x65 = -60.946897479642
x66 = 35.8141562509236
x67 = -83.7758040957278
x68 = -63.4601716025138
x69 = 79.7964534011807
x70 = -54.4542726622231
x71 = -86.0796387083603
x72 = -18057.2462543034
x73 = -38.3274303737955
x74 = 82.3097275240526
x75 = 48.1710873550435
x76 = -10.471975511966
x77 = 4.18879020478639
x78 = 83.7758040957278
x79 = 52.1504380495906
x80 = -71.2094334813686
x81 = -96.1327351998477
x82 = 54.4542726622231
x83 = -89.8495498926681
x84 = 92.1533845053006
x85 = -48.1710873550435
x86 = 46.0766922526503
x87 = 10.471975511966
x88 = 32.0442450666159
x89 = 68.4867198482575
x90 = -92.1533845053006
x91 = -82.3097275240526
x92 = -98.4365698124802
x93 = 5.65486677646163
x93 = 5.65486677646163
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