Sr Examen
33*2^x-2-4^x+1=2 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
x x 33*2 - 2 - 4 + 1 = 2
$$\left(- 4^{x} + \left(33 \cdot 2^{x} - 2\right)\right) + 1 = 2$$
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 4^{x} + \left(33 \cdot 2^{x} - 2\right)\right) + 1 = 2$$
o
$$\left(\left(- 4^{x} + \left(33 \cdot 2^{x} - 2\right)\right) + 1\right) - 2 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$- v^{2} + 33 v - 3 = 0$$
o
$$- v^{2} + 33 v - 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 33$$
$$c = -3$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$v_{1} = \frac{33}{2} - \frac{\sqrt{1077}}{2}$$
$$v_{2} = \frac{\sqrt{1077}}{2} + \frac{33}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{1077}}{2} + \frac{33}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = -1 + \frac{\log{\left(\sqrt{1077} + 33 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{33}{2} - \frac{\sqrt{1077}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(33 - \sqrt{1077} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1$$
$$\left(- 4^{x} + \left(33 \cdot 2^{x} - 2\right)\right) + 1 = 2$$
o
$$\left(\left(- 4^{x} + \left(33 \cdot 2^{x} - 2\right)\right) + 1\right) - 2 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$- v^{2} + 33 v - 3 = 0$$
o
$$- v^{2} + 33 v - 3 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 33$$
$$c = -3$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(33)^2 - 4 * (-1) * (-3) = 1077
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$v_{1} = \frac{33}{2} - \frac{\sqrt{1077}}{2}$$
$$v_{2} = \frac{\sqrt{1077}}{2} + \frac{33}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(\frac{\sqrt{1077}}{2} + \frac{33}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = -1 + \frac{\log{\left(\sqrt{1077} + 33 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{33}{2} - \frac{\sqrt{1077}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(33 - \sqrt{1077} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1$$
Respuesta rápida
[src]
/ ______\
log\33 + \/ 1077 /
x1 = -1 + ------------------
log(2)
$$x_{1} = -1 + \frac{\log{\left(\sqrt{1077} + 33 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
/ ______\
log\33 - \/ 1077 /
x2 = -1 + ------------------
log(2)
$$x_{2} = \frac{\log{\left(33 - \sqrt{1077} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1$$
x2 = log(33 - sqrt(1077))/log(2) - 1
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ ______\ / ______\
log\33 + \/ 1077 / log\33 - \/ 1077 /
-1 + ------------------ + -1 + ------------------
log(2) log(2)
$$\left(\frac{\log{\left(33 - \sqrt{1077} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1\right) + \left(-1 + \frac{\log{\left(\sqrt{1077} + 33 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
/ ______\ / ______\
log\33 + \/ 1077 / log\33 - \/ 1077 /
-2 + ------------------ + ------------------
log(2) log(2)
$$\frac{\log{\left(33 - \sqrt{1077} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 2 + \frac{\log{\left(\sqrt{1077} + 33 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
producto
/ / ______\\ / / ______\\ | log\33 + \/ 1077 /| | log\33 - \/ 1077 /| |-1 + ------------------|*|-1 + ------------------| \ log(2) / \ log(2) /
$$\left(-1 + \frac{\log{\left(\sqrt{1077} + 33 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(33 - \sqrt{1077} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1\right)$$
=
/ / ______\\ / / ______\ \
-\-log(2) + log\33 - \/ 1077 //*\- log\33 + \/ 1077 / + log(2)/
----------------------------------------------------------------
2
log (2)
$$- \frac{\left(\log{\left(33 - \sqrt{1077} \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) \left(- \log{\left(\sqrt{1077} + 33 \right)} + \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}^{2}}$$
-(-log(2) + log(33 - sqrt(1077)))*(-log(33 + sqrt(1077)) + log(2))/log(2)^2