|x-2|-|2x+2|=1 la ecuación

Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
$$2 x + 2 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 2\right) - \left(2 x + 2\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -5$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$x - 2 \geq 0$$
$$2 x + 2 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 2 < 0$$
$$2 x + 2 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) - \left(2 x + 2\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$

4.
$$x - 2 < 0$$
$$2 x + 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) - \left(- 2 x - 2\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x + 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -3$$


Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = -3$$