Tenemos la ecuación:
$$\left(25^{x} + 4 \cdot 5^{x}\right) - 5 = 0$$
o
$$\left(25^{x} + 4 \cdot 5^{x}\right) - 5 = 0$$
Sustituimos
$$v = 5^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} + 4 v - 5 = 0$$
o
$$v^{2} + 4 v - 5 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 4$$
$$c = -5$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$v_{1} = 1$$
$$v_{2} = -5$$
hacemos cambio inverso
$$5^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$x_{1} = \frac{\log{\left(1 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-5 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 1 + \frac{i \pi}{\log{\left(5 \right)}}$$