Tenemos la ecuación
$$\sqrt{\left(2 x^{2} + 2 x\right) - 1} = - x - 1$$
$$\sqrt{2 x^{2} + 2 x - 1} = - x - 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$2 x^{2} + 2 x - 1 = \left(- x - 1\right)^{2}$$
$$2 x^{2} + 2 x - 1 = x^{2} + 2 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$x^{2} - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -2$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-2) = 8
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
Como
$$\sqrt{2 x^{2} + 2 x - 1} = - x - 1$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} + 2 x - 1} \geq 0$$
entonces
$$- x - 1 \geq 0$$
o
$$x \leq -1$$
$$-\infty < x$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$