x^3+7*x^2-49*x-343=0 la ecuación

Tenemos la ecuación:
$$\left(- 49 x + \left(x^{3} + 7 x^{2}\right)\right) - 343 = 0$$
cambiamos
$$\left(- 49 x + \left(\left(7 x^{2} + \left(x^{3} - 343\right)\right) - 343\right)\right) + 343 = 0$$
o
$$\left(- 49 x + \left(\left(7 x^{2} + \left(x^{3} - 7^{3}\right)\right) - 7 \cdot 7^{2}\right)\right) + 7 \cdot 49 = 0$$
$$- 49 \left(x - 7\right) + \left(7 \left(x^{2} - 7^{2}\right) + \left(x^{3} - 7^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 49 \left(x - 7\right) + \left(\left(x - 7\right) \left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 7^{2}\right) + 7 \left(x - 7\right) \left(x + 7\right)\right) = 0$$
Saquemos el factor común -7 + x fuera de paréntesis
obtendremos:
$$\left(x - 7\right) \left(\left(7 \left(x + 7\right) + \left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 7^{2}\right)\right) - 49\right) = 0$$
o
$$\left(x - 7\right) \left(x^{2} + 14 x + 49\right) = 0$$
entonces:
$$x_{1} = 7$$
y además
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 14 x + 49 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 14$$
$$c = 49$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(14)^2 - 4 * (1) * (49) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = -14/2/(1)

$$x_{2} = -7$$
Entonces la respuesta definitiva es para x^3 + 7*x^2 - 49*x - 343 = 0:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -7$$