Sr Examen
Otras calculadoras
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación (x^2-1)/(x+2)=4x
-
Ecuación cos(x)=sin(x)
-
Ecuación (-5*x-3)*(2*x-1)=0
-
Ecuación x^3-x^2-5=0
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 1*x-6*y=-19
- -1*x-19*y=-10
- 18*x+19*y=7
- 18*x+14*y=-11
-
Expresiones idénticas
- x=- cero .5x^ cuatro
- x es igual a menos 0.5x en el grado 4
- x es igual a menos cero .5x en el grado cuatro
- x=-0.5x4
- x=-0.5x⁴
-
Expresiones semejantes
- x=+0.5x^4
x=-0.5x^4 la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x = - \frac{x^{4}}{2}$$
Evidentemente:
luego,
cambiamos
$$\frac{1}{x^{3}} = - \frac{1}{2}$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia -3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{- \frac{1}{2}}}$$
o
$$x = - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Obtenemos la respuesta: x = -(-1)^(2/3)*2^(1/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{3}} = - \frac{1}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = - \frac{1}{2}$$
donde
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x = - \frac{x^{4}}{2}$$
Evidentemente:
x0 = 0
luego,
cambiamos
$$\frac{1}{x^{3}} = - \frac{1}{2}$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -3 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Extraigamos la raíz de potencia -3 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{- \frac{1}{2}}}$$
o
$$x = - \left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x = 1^2/3*2^1/3
Obtenemos la respuesta: x = -(-1)^(2/3)*2^(1/3)
Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{3}} = - \frac{1}{2}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 3 i p}}{r^{3}} = - \frac{1}{2}$$
donde
$$r = \sqrt[3]{2}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 3 i p} = -1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
es decir
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
y
$$- \sin{\left(3 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \frac{2 \pi N}{3} - \frac{\pi}{3}$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x$$
$$x = z$$
Entonces la respuesta definitiva es:
x0 = 0
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
Respuesta rápida
[src]
x1 = 0
$$x_{1} = 0$$
3 ___ x2 = -\/ 2
$$x_{2} = - \sqrt[3]{2}$$
3 ___ 3 ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 *\/ 3
x3 = ----- - -------------
2 2
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
3 ___ 3 ___ ___
\/ 2 I*\/ 2 *\/ 3
x4 = ----- + -------------
2 2
$$x_{4} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}$$
x4 = 2^(1/3)/2 + 2^(1/3)*sqrt(3)*i/2
Suma y producto de raíces
[src]
suma
3 ___ 3 ___ ___ 3 ___ 3 ___ ___
3 ___ \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 \/ 2 I*\/ 2 *\/ 3
- \/ 2 + ----- - ------------- + ----- + -------------
2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[3]{2} + \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/3 ___ 3 ___ ___\ /3 ___ 3 ___ ___\
/ 3 ___\ |\/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 | |\/ 2 I*\/ 2 *\/ 3 |
0*\-\/ 2 /*|----- - -------------|*|----- + -------------|
\ 2 2 / \ 2 2 /
$$0 \left(- \sqrt[3]{2}\right) \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{\sqrt[3]{2}}{2} + \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
0
Respuesta numérica
[src]
x1 = 0.0
x2 = -1.25992104989487
x3 = 0.629960524947437 - 1.09112363597172*i
x4 = 0.629960524947437 + 1.09112363597172*i
x4 = 0.629960524947437 + 1.09112363597172*i