Sr Examen
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¿Cómo usar?
- La ecuación:
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Ecuación x+4=0
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Ecuación x*(x^2+8*x+16)=5*(x+4)
- Ecuación z^2+3+4*i=0
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Ecuación 5x-4=7
- Expresar {x} en función de y en la ecuación:
- 18*x-11*y=2
- 5*x+4*y=-12
- 12*x-14*y=20
- -3*x-20*y=-13
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Expresiones idénticas
- Xsqrt(uno +y^ dos)=y
- X raíz cuadrada de (1 más y al cuadrado ) es igual a y
- X raíz cuadrada de (uno más y en el grado dos) es igual a y
- X√(1+y^2)=y
- Xsqrt(1+y2)=y
- Xsqrt1+y2=y
- Xsqrt(1+y²)=y
- Xsqrt(1+y en el grado 2)=y
- Xsqrt1+y^2=y
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Expresiones semejantes
- Xsqrt(1-y^2)=y
Xsqrt(1+y^2)=y la ecuación
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Tenemos la ecuación
$$x \sqrt{y^{2} + 1} = y$$
$$x \sqrt{y^{2} + 1} = y$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} \left(y^{2} + 1\right) = y^{2}$$
$$x^{2} \left(y^{2} + 1\right) = y^{2}$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$x^{2} \left(y^{2} + 1\right) - y^{2} = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$x^{2} \left(y^{2} + 1\right) - y^{2} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} y^{2} + x^{2} - y^{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = x^{2} - 1$$
$$b = 0$$
$$c = x^{2}$$
, entonces
La ecuación tiene dos raíces.
o
$$y_{1} = \frac{\sqrt{- x^{2} \left(4 x^{2} - 4\right)}}{2 x^{2} - 2}$$
$$y_{2} = - \frac{\sqrt{- x^{2} \left(4 x^{2} - 4\right)}}{2 x^{2} - 2}$$
$$x \sqrt{y^{2} + 1} = y$$
$$x \sqrt{y^{2} + 1} = y$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} \left(y^{2} + 1\right) = y^{2}$$
$$x^{2} \left(y^{2} + 1\right) = y^{2}$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$x^{2} \left(y^{2} + 1\right) - y^{2} = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$x^{2} \left(y^{2} + 1\right) - y^{2} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} y^{2} + x^{2} - y^{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*y^2 + b*y + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$y_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$y_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = x^{2} - 1$$
$$b = 0$$
$$c = x^{2}$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (-1 + x^2) * (x^2) = -x^2*(-4 + 4*x^2)
La ecuación tiene dos raíces.
y1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
y2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$y_{1} = \frac{\sqrt{- x^{2} \left(4 x^{2} - 4\right)}}{2 x^{2} - 2}$$
$$y_{2} = - \frac{\sqrt{- x^{2} \left(4 x^{2} - 4\right)}}{2 x^{2} - 2}$$
Gráfica
Suma y producto de raíces
[src]
suma
/ _________\ / _________\ / _________\ / _________\
| / -1 | | / -1 | | / -1 | | / -1 |
- re|x* / ------- | - I*im|x* / ------- | + I*im|x* / ------- | + re|x* / ------- |
| / 2 | | / 2 | | / 2 | | / 2 |
\ \/ -1 + x / \ \/ -1 + x / \ \/ -1 + x / \ \/ -1 + x /
$$\left(- \operatorname{re}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)} - i \operatorname{im}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)}\right) + \left(\operatorname{re}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)} + i \operatorname{im}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)}\right)$$
=
0
$$0$$
producto
/ / _________\ / _________\\ / / _________\ / _________\\ | | / -1 | | / -1 || | | / -1 | | / -1 || |- re|x* / ------- | - I*im|x* / ------- ||*|I*im|x* / ------- | + re|x* / ------- || | | / 2 | | / 2 || | | / 2 | | / 2 || \ \ \/ -1 + x / \ \/ -1 + x // \ \ \/ -1 + x / \ \/ -1 + x //
$$\left(- \operatorname{re}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)} - i \operatorname{im}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)}\right) \left(\operatorname{re}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)} + i \operatorname{im}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)}\right)$$
=
2 / / _________\ / _________\\ | | / -1 | | / -1 || -|I*im|x* / ------- | + re|x* / ------- || | | / 2 | | / 2 || \ \ \/ -1 + x / \ \/ -1 + x //
$$- \left(\operatorname{re}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)} + i \operatorname{im}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)}\right)^{2}$$
-(i*im(x*sqrt(-1/(-1 + x^2))) + re(x*sqrt(-1/(-1 + x^2))))^2
Respuesta rápida
[src]
/ _________\ / _________\
| / -1 | | / -1 |
y1 = - re|x* / ------- | - I*im|x* / ------- |
| / 2 | | / 2 |
\ \/ -1 + x / \ \/ -1 + x /
$$y_{1} = - \operatorname{re}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)} - i \operatorname{im}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)}$$
/ _________\ / _________\
| / -1 | | / -1 |
y2 = I*im|x* / ------- | + re|x* / ------- |
| / 2 | | / 2 |
\ \/ -1 + x / \ \/ -1 + x /
$$y_{2} = \operatorname{re}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)} + i \operatorname{im}{\left(x \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - 1}}\right)}$$
y2 = re(x*sqrt(-1/(x^2 - 1))) + i*im(x*sqrt(-1/(x^2 - 1)))