Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (-9+x^3-2*x^2)/(-27+x^3)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /      3      2\
     |-9 + x  - 2*x |
 lim |--------------|
x->3+|          3   |
     \   -27 + x    /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
Limit((-9 + x^3 - 2*x^2)/(-27 + x^3), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x^{2} + x + 3\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 3 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2} + x + 3}{x^{2} + 3 x + 9}\right) = $$
$$\frac{3 + 3 + 3^{2}}{9 + 3^{2} + 3 \cdot 3} = $$
= 5/9

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{5}{9}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{3} - 2 x^{2} - 9\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{3} - 27\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 9}{x^{3} - 27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 2 x^{2} - 9\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 27\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{3 x^{2} - 4 x}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2}}{9} - \frac{4 x}{27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2}}{9} - \frac{4 x}{27}\right)$$
=
$$\frac{5}{9}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Respuesta rápida [src]
5/9
$$\frac{5}{9}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{5}{9}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{5}{9}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{1}{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{5}{13}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{5}{13}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src]
     /      3      2\
     |-9 + x  - 2*x |
 lim |--------------|
x->3+|          3   |
     \   -27 + x    /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
5/9
$$\frac{5}{9}$$
= 0.555555555555556
     /      3      2\
     |-9 + x  - 2*x |
 lim |--------------|
x->3-|          3   |
     \   -27 + x    /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- 2 x^{2} + \left(x^{3} - 9\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
5/9
$$\frac{5}{9}$$
= 0.555555555555556
= 0.555555555555556
Respuesta numérica [src]
0.555555555555556
0.555555555555556