Sr Examen

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(15+x^2-8*x)/(-27+x^3)

Límite de la función (15+x^2-8*x)/(-27+x^3)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /      2      \
     |15 + x  - 8*x|
 lim |-------------|
x->3+|          3  |
     \   -27 + x   /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
Limit((15 + x^2 - 8*x)/(-27 + x^3), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 5\right) \left(x - 3\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 3 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x - 5}{x^{2} + 3 x + 9}\right) = $$
$$\frac{-5 + 3}{9 + 3^{2} + 3 \cdot 3} = $$
= -2/27

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = - \frac{2}{27}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 8 x + 15\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{3} - 27\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{3} - 27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 27\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x - 8}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x}{27} - \frac{8}{27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 x}{27} - \frac{8}{27}\right)$$
=
$$- \frac{2}{27}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha [src]
     /      2      \
     |15 + x  - 8*x|
 lim |-------------|
x->3+|          3  |
     \   -27 + x   /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
-2/27
$$- \frac{2}{27}$$
= -0.0740740740740741
     /      2      \
     |15 + x  - 8*x|
 lim |-------------|
x->3-|          3  |
     \   -27 + x   /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
-2/27
$$- \frac{2}{27}$$
= -0.0740740740740741
= -0.0740740740740741
Respuesta rápida [src]
-2/27
$$- \frac{2}{27}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = - \frac{2}{27}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = - \frac{2}{27}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = - \frac{5}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = - \frac{5}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = - \frac{4}{13}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = - \frac{4}{13}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 8 x + \left(x^{2} + 15\right)}{x^{3} - 27}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src]
-0.0740740740740741
-0.0740740740740741
Gráfico
Límite de la función (15+x^2-8*x)/(-27+x^3)