Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-3*x)^(2/x)
-
Límite de (1-cos(x))/(x*(-1+sqrt(1+x)))
-
Límite de (1-cos(2*x))/(-cos(3*x)+cos(7*x))
-
Límite de (1+1/x)^(3*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres + dos *x)/(uno + dos *x))^(uno / dos +x)
- ((3 más 2 multiplicar por x) dividir por (1 más 2 multiplicar por x)) en el grado (1 dividir por 2 más x)
- ((tres más dos multiplicar por x) dividir por (uno más dos multiplicar por x)) en el grado (uno dividir por dos más x)
- ((3+2*x)/(1+2*x))(1/2+x)
- 3+2*x/1+2*x1/2+x
- ((3+2x)/(1+2x))^(1/2+x)
- ((3+2x)/(1+2x))(1/2+x)
- 3+2x/1+2x1/2+x
- 3+2x/1+2x^1/2+x
- ((3+2*x) dividir por (1+2*x))^(1 dividir por 2+x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+2*x)/(1+2*x))^(1/2-x)
- ((3+2*x)/(1-2*x))^(1/2+x)
- ((3-2*x)/(1+2*x))^(1/2+x)
Límite de la función ((3+2*x)/(1+2*x))^(1/2+x)
Solución
Ha introducido
[src]
1/2 + x
/3 + 2*x\
lim |-------|
x->oo\1 + 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
Limit(((3 + 2*x)/(1 + 2*x))^(1/2 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 1\right) + 2}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(2 x + 1\right) + 2}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 1}{2 x + 1} + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{2 x + 1}{2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = \frac{5 \sqrt{15}}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = \frac{5 \sqrt{15}}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = e$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = \frac{5 \sqrt{15}}{9}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = \frac{5 \sqrt{15}}{9}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2 x + 3}{2 x + 1}\right)^{x + \frac{1}{2}} = e$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico