Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función ((1+n)/n)^(2+n)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            2 + n
     /1 + n\     
 lim |-----|     
n->oo\  n  /     
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2}$$
Limit(((1 + n)/n)^(2 + n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n} + \frac{1}{n}\right)^{n + 2}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 2}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n}{1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 2}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Respuesta rápida [src]
E
$$e$$
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2} = e$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2} = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2} = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2} = 8$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2} = 8$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 1}{n}\right)^{n + 2} = e$$
Más detalles con n→-oo