Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (a+x^2-x*(1+a))/(x^3-a^3)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /     2            \
     |a + x  - x*(1 + a)|
 lim |------------------|
x->a+|      3    3      |
     \     x  - a       /
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right)$$
Limit((a + x^2 - x*(1 + a))/(x^3 - a^3), x, a)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{\left(- a + x\right) \left(x - 1\right)}{\left(- a + x\right) \left(a^{2} + a x + x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{x - 1}{a^{2} + a x + x^{2}}\right) = $$
$$\frac{a - 1}{a^{2} + a^{2} + a a} = $$
= (-1 + a)/(3*a^2)

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = \frac{a - 1}{3 a^{2}}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to a^+}\left(- a x + a + x^{2} - x\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to a^+}\left(- a^{3} + x^{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{a + x^{2} - x \left(a + 1\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{a + x^{2} - x \left(a + 1\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right)$$
=
$$\frac{a - 1}{3 a^{2}}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 0 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha [src]
     /     2            \
     |a + x  - x*(1 + a)|
 lim |------------------|
x->a+|      3    3      |
     \     x  - a       /
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right)$$
-1 + a
------
    2 
 3*a  
$$\frac{a - 1}{3 a^{2}}$$
     /     2            \
     |a + x  - x*(1 + a)|
 lim |------------------|
x->a-|      3    3      |
     \     x  - a       /
$$\lim_{x \to a^-}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right)$$
-1 + a
------
    2 
 3*a  
$$\frac{a - 1}{3 a^{2}}$$
(-1 + a)/(3*a^2)
Respuesta rápida [src]
-1 + a
------
    2 
 3*a  
$$\frac{a - 1}{3 a^{2}}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to a^-}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = \frac{a - 1}{3 a^{2}}$$
Más detalles con x→a a la izquierda
$$\lim_{x \to a^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = \frac{a - 1}{3 a^{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = - \frac{1}{a^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = - \frac{1}{a^{2}}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x \left(a + 1\right) + \left(a + x^{2}\right)}{- a^{3} + x^{3}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo