Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (-7+x^3+4*x)/(1+x^4-2*x^3)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
      /      3      \
      |-7 + x  + 4*x|
 lim  |-------------|
x->-oo|     4      3|
      \1 + x  - 2*x /
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right)$$
Limit((-7 + x^3 + 4*x)/(1 + x^4 - 2*x^3), x, -oo)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^4:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{3}} - \frac{7}{x^{4}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{4}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{3}} - \frac{7}{x^{4}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{4}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 7 u^{4} + 4 u^{3} + u}{u^{4} - 2 u + 1}\right)$$
=
$$\frac{- 7 \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0^{3}}{0^{4} - 0 + 1} = 0$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right) = 0$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 4 x - 7\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 2 x^{3} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 4 x - 7}{x^{4} - 2 x^{3} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 4 x - 7\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - 2 x^{3} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{2} + 4}{4 x^{3} - 6 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} - 6 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x}{12 x^{2} - 12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 6 x}{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} - 12 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6}{24 x - 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6}{24 x - 12}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right) = -7$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right) = -7$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 7\right)}{- 2 x^{3} + \left(x^{4} + 1\right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
Respuesta rápida [src]
0
$$0$$