Sr Examen

Límite de la función n/(1+n)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /  n  \
 lim |-----|
n->oo\1 + n/
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
Limit(n/(1 + n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por n:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{n}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u + 1}$$
=
$$1^{-1} = 1$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} n = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty}\left(n + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} n}{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{n}{n + 1}\right) = 1$$
Más detalles con n→-oo
Respuesta rápida [src]
1
$$1$$
Gráfico
Límite de la función n/(1+n)