Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (-3+x+x^3-3*x^2)/(-27+x^3)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /          3      2\
     |-3 + x + x  - 3*x |
 lim |------------------|
x->3+|            3     |
     \     -27 + x      /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
Limit((-3 + x + x^3 - 3*x^2)/(-27 + x^3), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x - 3\right) \left(x^{2} + 3 x + 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 3 x + 9}\right) = $$
$$\frac{1 + 3^{2}}{9 + 3^{2} + 3 \cdot 3} = $$
= 10/27

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{10}{27}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{3} - 3 x^{2} + x - 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{3} - 27\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{3} - 3 x^{2} + x - 3}{x^{3} - 27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 3 x^{2} + x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(x^{3} - 27\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{3 x^{2} - 6 x + 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2}}{9} - \frac{2 x}{9} + \frac{1}{27}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2}}{9} - \frac{2 x}{9} + \frac{1}{27}\right)$$
=
$$\frac{10}{27}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Respuesta rápida [src]
10
--
27
$$\frac{10}{27}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{10}{27}$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{10}{27}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{1}{9}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{1}{9}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{2}{13}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = \frac{2}{13}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha [src]
     /          3      2\
     |-3 + x + x  - 3*x |
 lim |------------------|
x->3+|            3     |
     \     -27 + x      /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
10
--
27
$$\frac{10}{27}$$
= 0.37037037037037
     /          3      2\
     |-3 + x + x  - 3*x |
 lim |------------------|
x->3-|            3     |
     \     -27 + x      /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{- 3 x^{2} + \left(x^{3} + \left(x - 3\right)\right)}{x^{3} - 27}\right)$$
10
--
27
$$\frac{10}{27}$$
= 0.37037037037037
= 0.37037037037037
Respuesta numérica [src]
0.37037037037037
0.37037037037037