Sr Examen

Otras calculadoras:


log(x+sqrt(1+x^2))/x

Límite de la función log(x+sqrt(1+x^2))/x

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /   /       ________\\
     |   |      /      2 ||
     |log\x + \/  1 + x  /|
 lim |--------------------|
x->0+\         x          /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right)$$
Limit(log(x + sqrt(1 + x^2))/x, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
1
$$1$$
A la izquierda y a la derecha [src]
     /   /       ________\\
     |   |      /      2 ||
     |log\x + \/  1 + x  /|
 lim |--------------------|
x->0+\         x          /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
     /   /       ________\\
     |   |      /      2 ||
     |log\x + \/  1 + x  /|
 lim |--------------------|
x->0-\         x          /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
= 1.0
Respuesta numérica [src]
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función log(x+sqrt(1+x^2))/x