Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (3+x^3+5*x^2+7*x)/(2+x^3+4*x^2+5*x)
-
Límite de (x^3-4*x^2+28*x)/(-1+x+3*x^2+5*x^3)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +n)/(dos +n))^(dos *n)
- ((1 más n) dividir por (2 más n)) en el grado (2 multiplicar por n)
- ((uno más n) dividir por (dos más n)) en el grado (dos multiplicar por n)
- ((1+n)/(2+n))(2*n)
- 1+n/2+n2*n
- ((1+n)/(2+n))^(2n)
- ((1+n)/(2+n))(2n)
- 1+n/2+n2n
- 1+n/2+n^2n
- ((1+n) dividir por (2+n))^(2*n)
-
Expresiones semejantes
- ((1+n)/(2-n))^(2*n)
- ((1-n)/(2+n))^(2*n)
Límite de la función ((1+n)/(2+n))^(2*n)
Solución
Ha introducido
[src]
2*n
/1 + n\
lim |-----|
n->oo\2 + n/
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
Limit(((1 + n)/(2 + n))^(2*n), n, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 2\right) - 1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 2} + \frac{n + 2}{n + 2}\right)^{2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 2}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 2}\right)^{2 n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 4}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = e^{-2}$$
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
cambiamos
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\left(n + 2\right) - 1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n + 2} + \frac{n + 2}{n + 2}\right)^{2 n}$$
=
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 2}\right)^{2 n}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{n + 2}{-1}$$
entonces
$$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 2}\right)^{2 n}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 4}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{4}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = e^{-2}$$
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = \frac{4}{9}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = \frac{4}{9}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = e^{-2}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = 1$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = \frac{4}{9}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = \frac{4}{9}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty} \left(\frac{n + 1}{n + 2}\right)^{2 n} = e^{-2}$$
Más detalles con n→-oo