Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función exp(2*x)*tan(pi/x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     / 2*x    /pi\\
 lim |e   *tan|--||
x->oo\        \x //
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right)$$
Limit(exp(2*x)*tan(pi/x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{2 x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{2 x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} e^{2 x} \tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{\pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} e^{2 x} \tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x^{2} e^{2 x}}{\pi}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2} e^{2 x}}{\pi} + \frac{4 x e^{2 x}}{\pi}\right) \tan^{3}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{2 \pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2} e^{2 x}}{\pi} + \frac{4 x e^{2 x}}{\pi}\right) \tan^{3}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2} e^{2 x}}{\pi} + \frac{4 x e^{2 x}}{\pi}\right) \tan^{3}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Respuesta rápida [src]
oo
$$\infty$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right)$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right)$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo