Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{2 x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x} \tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{2 x}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} e^{2 x} \tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{\pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x^{2} e^{2 x} \tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{2 x^{2} e^{2 x}}{\pi}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2} e^{2 x}}{\pi} + \frac{4 x e^{2 x}}{\pi}\right) \tan^{3}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{2 \pi \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2} e^{2 x}}{\pi} + \frac{4 x e^{2 x}}{\pi}\right) \tan^{3}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(\frac{4 x^{2} e^{2 x}}{\pi} + \frac{4 x e^{2 x}}{\pi}\right) \tan^{3}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{2 \pi}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)